Inégalités isopérimétriques et isodiamétriques

Russ, Emmanuel

Journées mathématiques X-UPS, Une invitation à la théorie géométrique de la mesure (2017), pp. 1-69.

Le problème isopérimétrique semble remonter à l’Antiquité grecque et une version peut s’énoncer ainsi : parmi toutes les figures planes de même périmètre, quelle est celle dont l’aire est la plus grande ?

Le problème isodiamétrique, quant à lui, consiste à savoir, parmi toutes les figures planes de diamètre fixé, quelle est celle qui a l’aire maximale.

On donne les réponses à ces questions, ainsi que de leurs extensions en dimension $n$ quelconque, en introduisant le minimum d’objets d’analyse et de théorie géométrique de la mesure nécessaires. On examine aussi leurs extensions à des contextes géométriques non euclidiens (groupes, variétés riemanniennes), et on fait le lien avec certaines méthodes de réarrangement.

Une partie de cette présentation est issue du livre d’Hervé Pajot et l’auteur ([36]).

[1] Adams, R. A.; Fournier, J. J. F. Sobolev spaces, Pure and Applied Math., 140, Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2003 | MR

[2] Ambrosio, L.; Fusco, N.; Pallara, D. Functions of bounded variation and free discontinuity problems, Oxford Math. Monographs, Oxford Univ. Press, 2000 | DOI

[3] Benedetto, J.; Czaja, W. Integration and modern analysis, Birkhäuser, Basel, 2009 | DOI | Zbl

[4] Berger, M.; Gostiaux, B. Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces, P.U.F., 1992

[5] Bonnesen, T. Über das isoperimetrische Defizit ebener Figuren, Math. Ann., Volume 91 (1924), pp. 252-268 | DOI | Zbl

[6] Brezis, H. Analyse fonctionnelle : théorie et applications, Dunod, Paris, 1994

[7] Brothers, John E; Ziemer, William P Minimal rearrangements of Sobolev functions, J. reine angew. Math., Volume 384 (1988) no. 1, pp. 153-179 | MR | Zbl

[8] Coulhon, T. Heat kernels on non-compact Riemannian manifolds : a partial survey, Séminaire de théorie spectrale et géométrie (1996/97), Institut Fourier (Grenoble), 1997, pp. 167-187 | DOI | Numdam | Zbl

[9] Coulhon, T.; Ledoux, M. Isopérimétrie, décroissance du noyau de la chaleur et transformations de Riesz : Un contre-exemple, Ark. Mat., Volume 32 (1994) no. 1, pp. 63-77 | DOI | Zbl

[10] Coulhon, T.; Saloff-Coste, L. Isopérimétrie pour les groupes et les variétés, Rev. Mat. Iberoamericana, Volume 9 (1993) no. 2, pp. 293-314 | DOI | Zbl

[11] Evans, L.C. Partial differential equations, Graduate Texts in Math., 119, American Mathematical Society, Providence, RI, 1998

[12] Evans, L.C.; Gariepy, R.F. Measure theory and fine properties of functions, Textbooks in Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 2015 | DOI

[13] Faber, G. Beweis, dass unter allen homogenen Membranen von gleicher Fläche und gleicher Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton gibt, Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Bauerischen Akademie der Wissenschaften zu München Jahrgang (1923), pp. 169-172 | Zbl

[14] Federer, H. Geometric measure theory, Springer, 1969

[15] Folland, G. B. Real analysis : modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, 2013

[16] Franceschi, V.; Leonardi, G. P.; Monti, R. Quantitative isoperimetric inequalities in ${ℍ}^n$, Calc. Var. Partial Differential Equations, Volume 54 (2015) no. 3, pp. 3229-3239 | DOI | Zbl

[17] Fuglede, B. Stability in the isoperimetric problem for convex or nearly spherical domains in ${ℝ}^n$, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 314 (1989) no. 2, pp. 619-638 | DOI | Zbl

[18] Fusco, N.; Maggi, F.; Pratelli, A. The sharp quantitative isoperimetric inequality, Ann. of Math. (2), Volume 168 (2008) no. 3, pp. 941-980 | DOI | Zbl

[19] Garofalo, N.; Nhieu, D.-M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot-Carathéodory spaces and the existence of minimal surfaces, Comm. Pure Appl. Math., Volume 49 (1996) no. 10, pp. 1081-1144 | DOI | Zbl

[20] Grigoryan, A. Heat kernel and analysis on manifolds, AMS/IP Studies in Advanced Math., 47, American Mathematical Society, 2009

[21] Hall, R. R. A quantitative isoperimetric inequality in $n$-dimensional space, J. reine angew. Math., Volume 428 (1992), pp. 161-175 | DOI | Zbl

[22] Henrot, A. Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Birkhäuser, 2006 | DOI

[23] Klain, D. A.; Rota, G.-C. Introduction to geometric probability, Cambridge : Cambridge University Press ; Rome : Accademia Nazionale dei Lincei, 1997 | Zbl

[24] Knothe, H. Contributions to the theory of convex bodies., Michigan Math. J., Volume 4 (1957) no. 1, pp. 39-52 | Zbl

[25] Krahn, E. Über eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft des Kreises, Math. Ann., Volume 94 (1925) no. 1, pp. 97-100 | DOI | Zbl

[26] Krahn, E. Über Minimaleigenschaften der Kugel in drei und mehr Dimensionen, Acta Comment. Univ. Tartu. Math., Volume 9 (1926), pp. 1-44 | Zbl

[27] Leonardi, G. P.; Masnou, S. On the isoperimetric problem in the Heisenberg group ${ℍ}^n$, Ann. Mat. Pura Appl. (4), Volume 184 (2005) no. 4, pp. 533-553 | DOI | Zbl

[28] Leonardi, G. P.; Rigot, S. Isoperimetric sets on Carnot groups, Houston J. Math., Volume 29 (2003) no. 3, pp. 609-637 | Zbl

[29] Maggi, F. Sets of finite perimeter and geometric variational problems : an introduction to Geometric Measure Theory, Cambridge Studies in Advanced Math., 135, Cambridge University Press, 2012 | DOI

[30] Maggi, F.; Ponsiglione, M.; Pratelli, A. Quantitative stability in the isodiametric inequality via the isoperimetric inequality, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 366 (2014) no. 3, pp. 1141-1160 | DOI | Zbl

[31] Maz’ya, V. Sobolev spaces, with applications to elliptic partial differential equations, Grundlehren Math. Wiss., 342, Springer Verlag, 2011 | DOI

[32] Mondino, A.; Spadaro, E. On an isoperimetric-isodiametric inequality, Anal. PDE, Volume 10 (2017) no. 1, pp. 95-126 | DOI | Zbl

[33] Montefalcone, F. Sets of finite perimeter associated with vector fields and polyhedral approximation, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., Volume 14 (2003) no. 4, pp. 279-295 | Zbl

[34] Monti, R. Some properties of Carnot-Carathéodory balls in the Heisenberg group, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., Volume 11 (2000) no. 3, pp. 155-167 | Zbl

[35] Monti, R.; Rickly, M. Convex isoperimetric sets in the Heisenberg group, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5), Volume 8 (2009) no. 2, pp. 391-415 | DOI | Numdam | Zbl

[36] Pajot, Hervé; Russ, Emmanuel Analyse dans les espaces métriques, Savoirs Actuels, EDP Sciences, Les Ulis ; CNRS Éditions, Paris, 2018 | MR

[37] Pansu, P. Une inégalité isoperimetrique sur le groupe de Heisenberg, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 295 (1982), pp. 127-130 | Zbl

[38] Rayleigh, J.W.S. The theory of sound, Dover Publications, New York, 1945 (vols. 1 and 2)

[39] Rigot, S. Isodiametric inequality in Carnot groups, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., Volume 36 (2011), pp. 245-260 | DOI | Zbl

[40] Rudin, W. Real and complex analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 1987 | MR

[41] Stein, E. M.; Shakarchi, R. Fourier analysis, an introduction, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2007

[42] Varopoulos, N. Th. Une généralisation du théoreme de Hardy-Littlewood-Sobolev pour les espaces de Dirichlet, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 299 (1984) no. 14, pp. 651-654 | Zbl

[43] Varopoulos, N. Th. Hardy-Littlewood theory for semigroups, J. Funct. Anal., Volume 63 (1985) no. 2, pp. 240-260 | DOI | Zbl

[44] Varopoulos, N. Th. Isoperimetric inequalities and Markov chains, J. Funct. Anal., Volume 63 (1985) no. 2, pp. 215-239 | DOI | Zbl

[45] Varopoulos, N. Th. Small time Gaussian estimates of heat diffusion kernels. I : The semigroup technique, Bull. Sci. Math. (2), Volume 113 (1989) no. 3, pp. 253-277 | Zbl

[46] Ziemers, W. P. Weakly differentiable functions, Graduate Texts in Math., 120, Springer Verlag, 1989 | DOI