Progressions arithmétiques dans les nombres premiers  [ Arithmetic progressions in primes ]
Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951, Astérisque no. 307  (2006), Talk no. 944, p. 229-246

B. Green and T. Tao have recently proved that the set of primes contains arbitrary long arithmetic progressions, answering to an old question with a remarkably simple formulation. The proof does not use any “transcendental” method and any of the deep theorems of analytic number theory. It is written in a spirit close to ergodic theory and in particular of Furstenberg's proof of Szemerédi's Theorem, but it does not use any result of this theory. Therefore the method can be considered as elementary, which does not mean easy. We entend here to present the mains ideas of this proof.

Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de toutes longueurs répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n'utilise aucune des méthodes “transcendantes” ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un esprit proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi, mais elle n'utilise aucun théorème provenant de cette théorie. La méthode peut ainsi être considérée comme “élémentaire”, ce qui ne veut pas dire facile. On se propose de présenter l'organisation générale de la preuve sans développer les calculs.

Classification:  11N13,  11B25,  37A5
Keywords: arithmetic progressions, prime numbers
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Host, Bernard. Progressions arithmétiques dans les nombres premiers, in Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951, Astérisque, no. 307 (2006), Talk no. 944, pp. 229-246. http://www.numdam.org/item/SB_2004-2005__47__229_0/

[1] P. Erdös & T. Turán - “On some sequences of integers”, 11 (1936), p. 261-264. | JFM 62.1126.01 | MR 1574918 | Zbl 0015.15203

[2] H. Furstenberg - “Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions”, J. Analyse Math. 31 (1977), p. 204-256. | Article | MR 498471 | Zbl 0347.28016

[3] H. Furstenberg, Y. Katznelson & D. Ornstein - “The ergodic theoretical proof of Szemerédi's theorem”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), p. 527-552. | MR 670131 | Zbl 0523.28017

[4] D. Goldston & C. Y. Yıldırım - “Small Gaps Between Primes I”, prépublication ; arXiv : math.NT/0504336. | Zbl 1373.11069

[5] T. Gowers - “A new proof of Szemerédi's theorem”, 11 (2001), p. 465-588. | MR 1844079 | Zbl 1028.11005

[6] B. Green & T. Tao - “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”, Ann. of Math. (2) (2004), à paraître ; arXiv : math.NT/0404188. | MR 2415379 | Zbl 1191.11025

[7] G. H. Hardy & J. E. Littlewood - “Some problems of “partition numerorum” III : on the expression of a number as a sum of primes”, Acta Arith. 44 (1923), p. 1-70. | JFM 48.0143.04 | MR 1555183

[8] B. Host & B. Kra - “Nonconventional ergodic averages and nilmanifolds”, Ann. of Math. (2) 161 (2005), p. 397-488. | MR 2150389 | Zbl 1077.37002

[9] E. Szemerédi - “On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression”, Acta Arith. 27 (1975), p. 199-245. | Article | MR 369312 | Zbl 0303.10056

[10] T. Tao - “A quantitative ergodic proof of Szemerédi's theorem”, Electron. J. Combin., à paraître ; arXiv : math.CO/0405251. | MR 2274314 | Zbl 1127.11011

[11] -, “A remark on Goldston-Yıldırım correlation estimates”, prépublication disponible à : http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints.

[12] J. G. Van Der Corput - “Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten”, Math. Ann. 116 (1939), p. 1-50. | Article | JFM 64.0132.01 | MR 1513216 | Zbl 0019.19602