Genres de Todd et valeurs aux entiers des dérivées de fonctions L

Soulé, Christophe

Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Exposé no. 955, pp. 75-98.

La géométrie d’Arakelov étudie les fibrés vectoriels sur une variété algébrique X définie sur les entiers, munis d’une métrique hermitienne lisse sur le fibré holomorphe associé (sur la variété analytique des points complexes de X). Un théorème de “Riemann-Roch arithmétique” calcule le covolume du réseau euclidien des sections globales d’un tel fibré. Dans cette formule, le genre de Todd comporte un terme complémentaire, défini par une série formelle dont les coefficients font intervenir les valeurs aux entiers négatifs impairs de la dérivée de la fonction zêta de Riemann (cf. exposé numéro 731 de ce séminaire). Si un schéma en groupes finis G agit sur X, il existe aussi un énoncé équivariant, concernant les fibrés hermitiens munis d’une action de G. Ce théorème de “Lefschetz arithmétique” est dû à K. Köhler et D. Roessler, qui s’appuient sur des travaux de J.-M. Bismut et al. Dans cet énoncé, la correction au genre de Todd fait intervenir les valeurs entières de la dérivée des fonctions L de Dirichlet. En spécialisant le théorème de Lefschetz arithmétique au cas de l’action des racines de l’unité sur une variété abélienne à multiplication complexe, ces auteurs obtiennent une nouvelle démonstration (aux mauvais facteurs près) de la formule classique de Chowla-Selberg qui exprime les périodes d’une courbe elliptique CM comme produit de valeurs de la fonction gamma en des nombres rationnels, et des généralisations de cette formule dues à B. Gross, G. Anderson et P. Colmez. V. Maillot et D. Roessler ont montré récemment que la méthode vaut pour toute variété (tout motif) à multiplication complexe. Ils confirment ainsi (en dimension deux par exemple) la conjecture de P. Deligne et B. Gross selon laquelle les périodes d’un tel motif sont des produits des valeurs en zéro de la dérivée de certaines fonctions L de Dirichlet.

Arakelov geometry studies vector bundles on an algebraic variety X defined over the integers, endowed with a smooth hermitian metric on the associated holomorphic bundle (on the complex points of X). An “arithmetic Riemann-Roch theorem” computes the covolume of the euclidean lattice of global sections of such a bundle. In this formula, the Todd genus has an additional term, defined by a formal power series the coefficients of which involve values at odd negative integers of the derivative of the Riemann zeta function. When a finite group scheme G acts upon X, there exists an equivariant result, concerning hermitian vector bundles with an action of G. This “arithmetic Lefschetz theorem” is due to K. Köhler et D. Roessler, using work of J.-M. Bismut et al. In the statement, the correction to the Todd genus involves values at the integers of the derivative of Dirichlet L-functions. By specializing the arithmetic Lefschetz theorem to the case of the action of roots of unity on an abelian variety with complex multiplication, the same authors got a new proof (up to bad primes) of a classical formula of Chowla-Selberg which expresses periods of a CM elliptic curve as a product of values of the gamma function at rational numbers, and of its generalizations to abelian varieties due to B. Gross, G. Anderson and P. Colmez. Recently, V. Maillot and D. Roessler have been able to deal with any variety (any motive) with complex multiplication. They prove this way (e.g. in dimension two) the conjecture of P. Deligne and B. Gross which says that the periods of such a motive are products of the values at the origin the derivative of some Dirichlet L functions.

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