L’objet de cet article est de justifier le recours à des méthodes de type « optique géométrique » pour une large classe de systèmes d’équations de champs semi-linéaires, invariants à la fois par transformations de Lorentz et par changements de jauge. Nous construisons explicitement des familles de solutions approchées d’un système modèle, couplant un champ de jauge (équation de Yang-Mills) avec un champ scalaire (équation des ondes) et un champ de spineurs (équation de Dirac), sous forme de développements oscillant à haute fréquence, monophasés, d’amplitude maximale. Nous justifions ensuite notre démarche en prouvant l’existence de solutions exactes, qui prolongent asymptotiquement les développements oscillants obtenus. Les potentiels de Yang-Mills, champ scalaire et champ de spineurs ainsi générés ne restent uniformément bornés que dans — respectivement — et . L’obtention de solutions oscillantes de forte amplitude montre que le système étudié peut conserver un comportement non linéaire stable pour toute une classe de champs de très faible régularité.
In this article, we justify the use of “geometric optics” like methods for a large class of semilinear systems of field equations, that remain invariant under gauge and Lorentz transforms. In a first time, we consider a model system, coupling a gauge field (Yang-Mills equation) with a scalar field (wave equation) and a spinor field (Dirac equation), and build families of approximate solutions in the shape of single phase expensions, rapidly oscillating at high frequency. Amplitude of such oscillations is maximal with regard to their frequency parameter. Expensions are given to any order. In a second time, we give exact solutions that remain asymptotic to previous oscillatory expensions. Such solutions may be uniformly bounded only in and — respectively for gauge, scalar and spinor fields. We give a stability result in the case where oscillatory solutions are obtained as high frequency perturbations of a given smooth solution of the system. It shows that the system can keep a stable nonlinear behaviour, even for very low regularity fields, when nonlinear terms usually lead to destructive interactions.
Mot clés : Optique géométrique, développements WKB, invariance de jauge, invariance relativiste, EDP hyperboliques non linéaires, équation de Yang-Mills, équation de Dirac, équation des ondes
Keywords: Geometric optics, WKB expensions, gauge invariance, semilinear hyperbolic PDE, Yang-Mills equation, wave equation, Dirac equation
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Jeanne, Pierre-Yves. Optique géométrique pour des systèmes semi-linéaires avec invariance de jauge. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 90 (2002), 166 p. doi : 10.24033/msmf.403. http://numdam.org/item/MSMF_2002_2_90__1_0/
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