K-théorie et multiplicités dans L 2 (G/Γ)  [ K-theory and multiplicities in L 2 (G/Γ) ]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 89 (2002), 91 p.

We prove a generalized version of the L 2 -index theorem of Atiyah concerning equivariant elliptic operators on coverings of compact manifolds, in the context of the Baum-Connes conjecture. Using recent results on the K-theory of group algebras, this enables us to compute the multiplicities of integrable discrete series in the homogeneous spaces of discrete torsionless and cocompact subgroups, in the case of semisimple Lie groups (a result due to R.P. Langlands), but also in the p-adique case.

On démontre une version généralisée du théorème d’indice L 2 d’Atiyah concernant les opérateurs elliptiques équivariants sur des revêtements galoisiens de variétés compactes, dans le cadre de la K-théorie de Baum-Connes. En utilisant des résultats récents de K-théorie d’algèbres de groupes, ceci nous permet de démontrer les formules de multiplicités des séries discrètes intégrables dans les espaces homogènes de sous-groupes discrets cocompacts sans torsion, dans le cadre des groupes de Lie semi-simples (résultat dû à R.P. Langlands), mais également dans le cadre p-adique.

DOI : https://doi.org/10.24033/msmf.402
Classification:  11F72,  19K14,  19K35,  22D10,  43-99,  46L08
Keywords: Densely defined trace, K-theory, L 2 -index, discrete series
@book{MSMF_2002_2_89__1_0,
     author = {Pierrot, Fran\c cois},
     title = {$K$-th\'eorie et~multiplicit\'es dans~$L^2(G/\Gamma )$},
     series = {M\'emoires de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {89},
     year = {2002},
     doi = {10.24033/msmf.402},
     zbl = {1002.19003},
     mrnumber = {1917149},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/MSMF_2002_2_89__1_0}
}
Pierrot, François. $K$-théorie et multiplicités dans $L^2(G/\Gamma )$. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 89 (2002), 91 p. doi : 10.24033/msmf.402. http://www.numdam.org/item/MSMF_2002_2_89__1_0/

[1] M.F. Atiyah. Elliptic operators, discrete groups and Von Neumann Algebras. Astérisque 32-32 (1976), 43-72. | MR 420729 | Zbl 0323.58015

[2] J-B. Bost. Principe d’Oka, K-théorie et systèmes dynamiques non commutatifs. Invent. Math., 101 (1990), 261-333. | MR 1062964 | Zbl 0719.46038

[3] P. Baum & A. Connes. K-theory for Lie groups and foliation, IHES 1982.

[4] P. Baum, A. Connes & N. Higson. Classifying space for proper actions and K-theory of group C * -algebras. In C * -algebras : 1943-1993, vol. 167 of Contemp. Math., 240-291. AMS, RI, 1994. | MR 1292018

[5] M. Breuer. Fredholm theories in Von Neumann algebras I, Math. Ann. 178 (1968), 243-254. | MR 234294 | Zbl 0162.18701

[6] A. Connes. Cyclic cohomology and the transverse fundamental class of a foliation. Geometric methods in operator algebras (Kyoto 1983), 52-114, Pitman Res. Notes in Math, 123, 1986. | MR 866491 | Zbl 0647.46054

[7] A. Connes & H. Moscovici. The L 2 -index theorem for homogeneous spaces of Lie groups, Ann. of Math. 115 (1982), 291-330. | MR 647808 | Zbl 0515.58031

[8] J. Dixmier. Les C * -algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1964. | MR 171173 | Zbl 0152.32902

[9] J. Dixmier. Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien. Gauthier-Villars, 1969. | Zbl 0175.43801

[10] P. Green. Square integrable representations and the dual topology. JFA 35 (1980), 279-294. | MR 563556 | Zbl 0439.22009

[11] A. Grothendieck. Réarrangement de fonctions et inégalités de convexité dans les algèbres de Von Neumann munies d’une trace. Séminaire Bourbaki, mars 1955. | Numdam | Zbl 0161.33603

[12] N. Higson. The Baum-Connes conjecture, Proc. ICM, Vol. II (Berlin, 1998), Doc. Math., (1998), 637-646. | MR 1648112 | Zbl 0911.46041

[13] N. Higson & G. Kasparov. Operator K-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Electron. Res. Announc. AMS, 3 :131-142 (electronic),1997. | MR 1487204 | Zbl 0888.46046

[14] R. Hotta & R. Parthasarathy. A geometric meaning of the multiplicity of integrable discrete classes in L 2 (G/Γ). Osaka J. Math, 10 (1973), 211-234. | MR 338265 | Zbl 0337.22016

[15] R. Hotta & R. Parthasarathy. Multiplicity formulae for discrete series. Invent. Math. 26 (1974), 133-178. | MR 348041 | Zbl 0298.22013

[16] Harish-Chandra. Discrete series for semisimple Lie groups : II, Acta Math. 116 (1966), 1-111. | MR 219666

[17] G. Kasparov. Equivariant 𝐾𝐾-theory and the Novikov conjecture, Invent. Math. 91 (1988), 147-201. | MR 918241 | Zbl 0647.46053

[18] V. Lafforgue. Thèse de doctorat. Université Paris Sud, 1999.

[19] V. Lafforgue. Une démonstration de la conjecture de Baum-Connes pour les groupes réductifs sur un corps p-adique et pour certains groupes discrets possédant la propriété (T). CRAS 327 (1998), 439-444. | MR 1652538

[20] R.P. Langlands. Dimension of automorphic forms. PSPM vol. 9, 1966, 253-257. | MR 212135 | Zbl 0215.11802

[21] P. Muhly, J. Renault & D. Williams. Equivalence and isomorphism for groupoid C * -algebras. J.O.T. 17 (1987), 3-22. | MR 873460 | Zbl 0645.46040

[22] C.C. Moore & J.A. Wolf. Square integrable representations of nilpotent Lie groups. Trans. AMS. 185 (1973), 445-462. | MR 338267 | Zbl 0274.22016

[23] G. Pedersen. C * -algebras and their automorphism groups. London Math. Soc. monographs vol. 14. Academic Press, 1979. | MR 548006 | Zbl 0416.46043

[24] M.A. Rieffel. Morita equivalence for C * -algebras and W * -algebras. J. Pure Appl. Algebra 5 (1974), 51-96. | MR 367670 | Zbl 0295.46099

[25] G. Skandalis. Cours de 3e cycle. Paris VII.

[26] E. H. Spanier. Algebraic topology. Mc Graw Hill (1966). | MR 210112 | Zbl 0145.43303

[27] R. G. Swan. Topological examples of projective modules. Trans. AMS 230 (1977), 201-234. | MR 448350 | Zbl 0443.13005

[28] J.L. Tu. Thèse de doctorat. Université Paris 7, 1996.

[29] A. Valette. K-theory for the reduced C * -algebra of semisimple Lie groups with real rank 1 and finite center. Quart. J. Math. Oxford (2) 35 (1984), 341-359. | MR 755672 | Zbl 0545.22006

[30] A. Valette. Minimal projections, integrable representations and property (T). Arch. Math. (Basel) 43 (1984), 397-406. | MR 773186 | Zbl 0538.22006

[31] A. Wassermann. Une démonstration de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie linéaires connexes réductifs. CRAS 304 (1987), 559-562. | MR 894996 | Zbl 0615.22011

[32] F. Williams. Discrete series multiplicities in L 2 (G/Γ). Amer J. Math 106 (1984), 137-148 et 107 (1985), 367-376. | MR 729757