Trace et calcul résiduel : une nouvelle version du théorème d’Abel inverse, formes abéliennes
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 2, p. 397-424

We use residue calculus for an effective computation of the trace of a meromorphic form Φ on an analytic hypersurface V and we obtain an algebraic characterization of trace-forms. We prove by this way a stronger version of the global Abel-inverse theorem than in [16]  : the current [V]Φ is algebraic if and only if its Abel-transform 𝒜(Φ[V]) is a rational form in variables not corresponding to the hillside. The proof uses an algebraic mechanism of inversion and a differential equation of a “shock wave” type satisfied by trace’s coefficients. We show the link of this theorem with Wood’s theorem [18], giving a simple criterion for a family of germs of analytic hypersurfaces to be interpolated by an algebraic hypersurface. Furthermore, we obtain a new method to calculate the dimension of the vector space of maximal abelian forms on an algebraic projective hypersurface [15].

On utilise le calcul résiduel pour un calcul effectif de la trace d’une forme méromorphe sur une hypersurface analytique permettant d’obtenir une caractérisation des formes traces. En conséquence, une version plus forte du théorème d’Abel-inverse global que celle donnée dans [16] est prouvée  : le courant [V]Φ est algébrique si et seulement si sa transformée d’Abel 𝒜([V]Φ) est rationnelle en les variables ne correspondant pas à la pente. La preuve s’appuie sur des mécanismes algébriques d’inversion et sur une équation différentielle de type « onde de choc » vérifiée par les coefficients de la trace. Le théorème de Wood [18] donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’une collection de germes d’hypersurfaces soit incluse dans une hypersurface algébrique. On établit le lien logique de cet énoncé avec le théorème d’Abel-inverse. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l’espace des n-formes abéliennes sur une hypersurface de n+1 (voir [15]).

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Weimann, Martin. Trace et calcul résiduel : une nouvelle version du théorème d’Abel inverse, formes abéliennes. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 2, pp. 397-424. doi : 10.5802/afst.1154. http://www.numdam.org/item/AFST_2007_6_16_2_397_0/

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