Groupes fondamentaux des variétés de dimension 3 et algèbres d’opérateurs
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 3, p. 561-589

We provide a geometric characterization of manifolds of dimension 3 with fundamental groups of which all conjugacy classes except {1} are infinite, namely of which the von Neumann algebras are factors of type II 1 : they are essentially the 3-manifolds with infinite fundamental groups on which there does not exist any Seifert fibration.

Otherwise said and more precisely, let M be a compact connected 3-manifold and let Γ be its fundamental group, supposed to be infinite and with at least one finite conjugacy class besides {1}. If M is orientable, then Γ is the fundamental group of a Seifert manifold; if M is not orientable, then Γ is the fundamental group of a Seifert manifold modulo in the sense of Heil and Whitten [HeWh-94].

We make heavy use of results on 3-manifolds, as well classical results (as can be found in the books of Hempel, Jaco, and Shalen), as more recent ones (solution of the Seifert fibred space conjecture)

Nous proposons une caractérisation géométrique des variétés de dimension 3 ayant des groupes fondamentaux dont toutes les classes de conjugaison autres que {1} sont infinies, c’est-à-dire dont les algèbres de von Neumann sont des facteurs de type II 1   : ce sont essentiellement les 3-variétés à groupes fondamentaux infinis qui n’admettent pas de fibration de Seifert. Autrement dit et plus précisément, soient M une 3-variété connexe compacte et Γ son groupe fondamental, qu’on suppose être infini et avec au moins une classe de conjugaison finie autre que {1}. Si M est orientable, alors Γ est groupe fondamental d’une variété de Seifert  ; si M est non orientable, alors Γ est groupe fondamental d’une variété de Seifert modulo au sens de Heil et Whitten [HeWh-94].

Nous faisons un usage intensif de résultats concernant les 3-variétés, autant classiques (comme on les trouve dans les livres de Hempel, Jaco et Shalen) que plus récents (solution de la conjecture des fibrés de Seifert).

@article{AFST_2007_6_16_3_561_0,
     author = {de la Harpe, Pierre and Pr\'eaux, Jean-Philippe},
     title = {Groupes fondamentaux des vari\'et\'es de dimension $3$ et alg\`ebres d'op\'erateurs},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {6e s{\'e}rie, 16},
     number = {3},
     year = {2007},
     pages = {561-589},
     doi = {10.5802/afst.1159},
     mrnumber = {2379052},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AFST_2007_6_16_3_561_0}
}
de la Harpe, Pierre; Préaux, Jean-Philippe. Groupes fondamentaux des variétés de dimension $3$ et algèbres d’opérateurs. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 3, pp. 561-589. doi : 10.5802/afst.1159. http://www.numdam.org/item/AFST_2007_6_16_3_561_0/

[BeHa-94] Bekka (M.) et de la Harpe (P.).— Représentations d’un groupe faiblement équivalentes à la représentation régulière, Bull. Soc. math. France 122, p. 333-342 (1994). | Numdam | Zbl 0824.22011

[BoMP-03] Boileau (M.), Maillot (S.) et Porti (J.).— Three-dimensional orbifolds and their geometric structures, Panoramas et synthèses 15, Soc. Math. France (2003). | MR 2060653 | Zbl 1058.57009

[Bore-60] Borel (A.).— Density properties for certain subgroups of semisimple Lie groups without compact factors, Annals of Math. 72, p. 179-188 (1960) [Oeuvres, volume II, pages 125-134]. | MR 123639 | Zbl 0094.24901

[Bowd-04] Bowditch (B.).— Planar groups and the Seifert conjecture, J. reine angew. Math. 576, p. 11-62 (2004). | MR 2099199 | Zbl 1056.20029

[Brow-82] Brown (K.S.).— Cohomology of groups, Springer (1982). | MR 672956 | Zbl 0584.20036

[BuMu-70] Burde (G.) et Murasugi (K.).— Links and seifert fiber spaces, Duke Math. J. 37, p. 89-93 (1970). | MR 253313 | Zbl 0195.54003

[Dixm-69] Dixmier (J.).— Les C * -algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars (1969). | MR 246136 | Zbl 0174.18601

[Epst-72] Epstein (D.B.A.).— Periodic flows on 3-manifolds, Annals of Math. 95, p. 66-82 (1972). | MR 288785 | Zbl 0231.58009

[Gaba-92] Gabai (D.).— Convergence groups are Fuchsian groups, Ann. of Math. 136, p. 447-510 (1992). | MR 1189862 | Zbl 0785.57004

[Harp-07] de la Harpe (P.).— On simplicity of reduced C * -algebras of groups, Bull. London Math. Soc., 39, p. 1-26 (2007). | MR 2303514 | Zbl 05139536

[HeWh-94] Heil (W.) et Whitten (W.).— The Seifert fiber space conjecture and torus theorem for non-orientable 3-manifold, Canad. Math. Bull 37(4), p. 482-489 (1994). | MR 1303675 | Zbl 0829.57008

[HeJa-72] Hempel (J.) et Jaco (W.).— Fundamental groups of 3-manifolds which are extensions, Annals of Math. 95, p. 86-98 (1972). | MR 287550 | Zbl 0226.57003

[Hemp-76] Hempel (J.).— 3-manifolds, Princeton Univ. Press (1976). | MR 415619 | Zbl 0345.57001

[Hill-87] Hillman (J.A.).— Three-dimensional Poincaré duality groups which are extensions, Math. Z. 195, p. 89-9 (1987). | MR 888129 | Zbl 0597.57009

[Hopf-25] Hopf (H.).— Zum Clifford-Kleinnchen Raumproblem, Math. Ann. 95, p. 340-367 (1925).

[Jaco-77] Jaco (W.).— Lectures on three-manifold topology, CBMS 43, Amer. Math. Soc. (1977). | MR 565450 | Zbl 0433.57001

[JaSh-79] Jaco (W.), Shalen (P.).— Seifert fibre space in 3-manifolds, Memoir 220, Amer. Math. Soc. (1979). | MR 537728 | Zbl 0415.57005

[Mail-03] Maillot (S.).— Open 3-manifolds whose fundamental groups have infinite center, and a torus theorem for 3-orbifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 355, p. 4595-4638 (2003). | MR 1990764 | Zbl 1030.57029

[Miln-57] Milnor (J.).— Groups which act on 𝕊 n without fixed points, Amer. J. Math. 79, p. 623-630 (1957) [Collected Papers, Volume 2, pp. 93 et 97-104]. | MR 90056 | Zbl 0078.16304

[Mose-71] Moser (L.).— Elementary surgery along a torus knot, Pacific J. Math. 38 (1971), p. 737-745. | MR 383406 | Zbl 0202.54701

[Neum-54] Neumann (B.H.).— Groups covered by permutable subsets, J. London Math. Soc. 29, p. 236-248 (1954). | MR 62122 | Zbl 0055.01604

[PaSa-79] W. Paschke (W.), Salinas (N.).— C * -algebras associated with the free products of groups , Pacific J. Math. 82, p. 211-221 (1979). | MR 549845 | Zbl 0413.46049

[ROIV] Murray (F.J.), von Neumann (J.).— On rings of operators, IV, Annals of Math. 44, p. 716-808 (1943) [Collected Works, Volume III, p. 229-321]. | MR 9096 | Zbl 0060.26903

[Rotm-95] Rotman (J.J.).— An introduction to the theory of groups, fourth edition, Springer (1995) [First edition 1965]. | MR 1307623 | Zbl 0810.20001

[Rubi-95] Rubinstein (J.H.).— An algorithm to recognize the 3-sphere, Proc. ICM Zurich 1994 Vol. 1 (Birkhäuser 1995), p. 601-611. | MR 1403961 | Zbl 0864.57009

[Saka-71] Sakai (S.).— C * -algebras and W * -algebras, Springer (1971). | MR 442701 | Zbl 0219.46042

[Sco-83a] Scott (P.).— There is no fake Seifert fibre space with infinite π 1 , Annals of Math. 117, p. 35-70 (1983). | MR 683801 | Zbl 0516.57006

[Sco-83b] Scott (P.).— The geometries of 3-manifolds, Bull. London Math. Soc. 15 :5, p. 401-487 (1983). | MR 705527 | Zbl 0561.57001

[SeTh-34] Seifert (H.) et Threlfall (W.).— A textbook of topology, Academic Press (1980) [traduit de  : Lehrbuch der Topology, Teubner, 1934]. | MR 575168

[Stal-06] Stalder (V.).— Moyennabilité intérieure et extensions HNN, Ann. Inst. Fourier 56, p. 309-323 (2006). | Numdam | MR 2226017

[Swar-73] Swarup (G.A.).— Projective planes in irreducible 3-manifolds, Math. Z. 132, p. 305-317 (1973). | MR 322883 | Zbl 0249.57003

[Toll-70] Tollefson (J.).— Free involutions on non-prime 3-manifolds, Osaka J. Math. 7, p. 161-164 (1970). | MR 266184 | Zbl 0198.28503

[Toll-78] Tollefson (J.).— Involutions on Seifert fiber spaces, Pacific J. Math. 74, p. 519-529 (1978). | MR 645400 | Zbl 0395.57022

[Whit-92] Whitten (W.).— Recognizing non-orientable Seifert Manifolds, J. Knot Theory and its ramifications 1, p. 471-475 (1992). | MR 1194999 | Zbl 0783.57005