Opérateurs invariants sur certains immeubles affines de rang 2

Kellil, Ferdaous; Rousseau, Guy

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 3, pp. 591-610.

On considère un immeuble $\Delta$ de type $\widetilde{A_2}$ ou $\widetilde{B_2}$, différents sous-ensembles ${𝒮}^{\prime }$ de l’ensemble $𝒮$ des sommets de $\Delta$ et différents groupes $G$ d’automorphismes de $\Delta$, très fortement transitifs sur $\Delta$. On montre que l’algèbre des opérateurs $G$-invariants agissant sur l’espace des fonctions sur ${𝒮}^{\prime }$ est souvent non commutative (contrairement aux résultats classiques). Dans certains cas on décrit sa structure et on détermine ses fonctions radiales propres. On en déduit que la conjecture d’Helgason n’est pas toujours vérifiée dans ce cadre

We consider a building $\Delta$ of type $\widetilde{A_2}$ or $\widetilde{B_2}$ , different subsets ${𝒮}^{\prime }$ of the set $𝒮$ of vertices in $\Delta$ and different automorphism groups $G$, very strongly transitive on $\Delta$. We prove that the algebra of $G$-invariant operators acting on the space of functions on ${𝒮}^{\prime }$ is often not commutative (contrarily to the classical results). In some cases we describe its structure, determine its radial eigunfunctions and deduce that the Helgason conjecture is not verified in this context

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