Galois theory of $q$-difference equations

van der Put, Marius; Reversat, Marc

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 3, pp. 665-718.

Soit $q$ un nombre complexe, $0<\left|q\right|<1$. On procède pour l’essentiel à une étude systématique des équations aux $q$-différences sur le corps $K$ des fonctions méromorphes au voisinage de $0$ (classifications, problèmes de modules). Cela conduit à associer à tout module aux différences $M$ un fibré vectoriel $v\left(M\right)$ sur la courbe de Tate $E_q:={ℂ}^{*}/q^{\mathbb{Z}}$ (c’était déjà connu pour les modules « à pentes entières », [Saul, 2]), ce qui amène à retrouver la classification donnée par Atiyah des fibrés vectoriels indécomposables sur la courbe de Tate complexe ([At]). Dans le dernier paragraphe nous étudions les équations linéaires aux $q$-différences en caractéristique positive $p$, nous en déduisons les résultats d’Atiyah pour les courbes elliptiques dont le $j$-invariant est transcendant sur ${𝔽}_p$.

Choose $q\in ℂ$ with $0<\left|q\right|<1$. The main theme of this paper is the study of linear $q$-difference equations over the field $K$ of germs of meromorphic functions at $0$. A systematic treatment of classification and moduli is developed. It turns out that a difference module $M$ over $K$ induces in a functorial way a vector bundle $v\left(M\right)$ on the Tate curve $E_q:={ℂ}^{*}/q^{\mathbb{Z}}$ that was known for modules with ”integer slopes“, [Saul, 2]). As a corollary one rediscovers Atiyah’s classification $\left(\right[\mathrm{A}t\left]\right)$ of the indecomposable vector bundles on the complex Tate curve. Linear $q$-difference equations are also studied in positive characteristic $p$ in order to derive Atiyah’s results for elliptic curves for which the $j$-invariant is not algebraic over ${𝔽}_p$.

[At] Atiyah (M.F.).— Vector bundles on elliptic curves, Proc.London.Math. Soc., 7, 414-452 (1957). | MR | Zbl

[Bir] Collected mathematical papers of George David Birkhoff, Volume 1. Dover publications, 1968.

[For] Forster (O.), Riemannsche Fläche, Heidelberger Taschenbücher, Springer Verlag (1977). | MR | Zbl

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[vdP-S1] van der Put (M.), Singer (M.F.), Galois theory of difference equations, Lect. Notes in Math., vol 1666, Springer Verlag, 1997. | MR | Zbl

[vdP-S2] van der Put (M.), Singer (M.F.), Galois theory of linear differential equations, Grundlehren der mathematische Wissenschaften 328, Springer Verlag, 2003. | MR | Zbl

[R-S-Z] Ramis (J.-P.), Sauloy (J.), Zhang (C.), La variété des classes analytiques d’équations aux $q$-différences dans une classe formelle , C.R.Acad.Sci.Paris, Ser. I 338 (2004). | Zbl

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[Sau2] Sauloy (J.), Algebraic construction of the Stokes sheaf for irregular linear $q$-difference equations, Astérisque 296, p. 227-251 (2004). | Numdam | MR | Zbl

[Sau3] Sauloy (J.), La filtration canonique par les pentes d’un module aux $q$-différences et le gradué associé, Ann. Inst. Fourier 54, no. 1, p.181–210 (2004). | Numdam | Zbl