Galois theory of q-difference equations
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 3, p. 665-718

Choose q∈ℂ with 0<|q|<1. The main theme of this paper is the study of linear q-difference equations over the field K of germs of meromorphic functions at 0. A systematic treatment of classification and moduli is developed. It turns out that a difference module M over K induces in a functorial way a vector bundle v(M) on the Tate curve E q :=ℂ * /q ℤ that was known for modules with ”integer slopes“, [Saul, 2]). As a corollary one rediscovers Atiyah’s classification ([At]) of the indecomposable vector bundles on the complex Tate curve. Linear q-difference equations are also studied in positive characteristic p in order to derive Atiyah’s results for elliptic curves for which the j-invariant is not algebraic over 𝔽 p .

Soit q un nombre complexe, 0<|q|<1. On procède pour l’essentiel à une étude systématique des équations aux q-différences sur le corps K des fonctions méromorphes au voisinage de 0 (classifications, problèmes de modules). Cela conduit à associer à tout module aux différences M un fibré vectoriel v(M) sur la courbe de Tate E q :=ℂ * /q ℤ (c’était déjà connu pour les modules « à pentes entières », [Saul, 2]), ce qui amène à retrouver la classification donnée par Atiyah des fibrés vectoriels indécomposables sur la courbe de Tate complexe ([At]). Dans le dernier paragraphe nous étudions les équations linéaires aux q-différences en caractéristique positive p, nous en déduisons les résultats d’Atiyah pour les courbes elliptiques dont le j-invariant est transcendant sur 𝔽 p .

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     author = {van der Put, Marius and Reversat, Marc},
     title = {Galois theory of $q$-difference equations},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 16},
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     pages = {665-718},
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van der Put, Marius; Reversat, Marc. Galois theory of $q$-difference equations. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 3, pp. 665-718. doi : 10.5802/afst.1164. http://www.numdam.org/item/AFST_2007_6_16_3_665_0/

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