Galois theory of $q$-difference equations

Soit $q$ un nombre complexe, $0<\left|q\right|<1$. On procède pour l’essentiel à une étude systématique des équations aux $q$-différences sur le corps $K$ des fonctions méromorphes au voisinage de $0$ (classifications, problèmes de modules). Cela conduit à associer à tout module aux différences $M$ un fibré vectoriel $v\left(M\right)$ sur la courbe de Tate $E_q:={ℂ}^{*}/q^{\mathbb{Z}}$ (c’était déjà connu pour les modules « à pentes entières », [Saul, 2]), ce qui amène à retrouver la classification donnée par Atiyah des fibrés vectoriels indécomposables sur la courbe de Tate complexe ([At]). Dans le dernier paragraphe nous étudions les équations linéaires aux $q$-différences en caractéristique positive $p$, nous en déduisons les résultats d’Atiyah pour les courbes elliptiques dont le $j$-invariant est transcendant sur ${𝔽}_p$.

Choose $q\in ℂ$ with $0<\left|q\right|<1$. The main theme of this paper is the study of linear $q$-difference equations over the field $K$ of germs of meromorphic functions at $0$. A systematic treatment of classification and moduli is developed. It turns out that a difference module $M$ over $K$ induces in a functorial way a vector bundle $v\left(M\right)$ on the Tate curve $E_q:={ℂ}^{*}/q^{\mathbb{Z}}$ that was known for modules with ”integer slopes“, [Saul, 2]). As a corollary one rediscovers Atiyah’s classification $\left(\right[\mathrm{A}t\left]\right)$ of the indecomposable vector bundles on the complex Tate curve. Linear $q$-difference equations are also studied in positive characteristic $p$ in order to derive Atiyah’s results for elliptic curves for which the $j$-invariant is not algebraic over ${𝔽}_p$.