Soit un nombre complexe, . On procède pour l’essentiel à une étude systématique des équations aux -différences sur le corps des fonctions méromorphes au voisinage de (classifications, problèmes de modules). Cela conduit à associer à tout module aux différences un fibré vectoriel sur la courbe de Tate (c’était déjà connu pour les modules « à pentes entières », [Saul, 2]), ce qui amène à retrouver la classification donnée par Atiyah des fibrés vectoriels indécomposables sur la courbe de Tate complexe ([At]). Dans le dernier paragraphe nous étudions les équations linéaires aux -différences en caractéristique positive , nous en déduisons les résultats d’Atiyah pour les courbes elliptiques dont le -invariant est transcendant sur .
Choose with . The main theme of this paper is the study of linear -difference equations over the field of germs of meromorphic functions at . A systematic treatment of classification and moduli is developed. It turns out that a difference module over induces in a functorial way a vector bundle on the Tate curve that was known for modules with ”integer slopes“, [Saul, 2]). As a corollary one rediscovers Atiyah’s classification of the indecomposable vector bundles on the complex Tate curve. Linear -difference equations are also studied in positive characteristic in order to derive Atiyah’s results for elliptic curves for which the -invariant is not algebraic over .
@article{AFST_2007_6_16_3_665_0, author = {van der Put, Marius and Reversat, Marc}, title = {Galois theory of $q$-difference equations}, journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques}, pages = {665--718}, publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques}, volume = {Ser. 6, 16}, number = {3}, year = {2007}, doi = {10.5802/afst.1164}, mrnumber = {2379057}, language = {en}, url = {archive.numdam.org/item/AFST_2007_6_16_3_665_0/} }
van der Put, Marius; Reversat, Marc. Galois theory of $q$-difference equations. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 3, pp. 665-718. doi : 10.5802/afst.1164. http://archive.numdam.org/item/AFST_2007_6_16_3_665_0/
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