Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point singulier
Annales de l'Institut Fourier, Volume 1 (1949), p. 121-156

D’après le développement classique d’une fonction harmonique u de l’espace à τ dimensions au voisinage d’un point O (ce point exclu), on sait que la limitation de croissance en moyenne du type : r λ 𝔐 u + r =o(r) ou o(r) (λ>τ-2) entraîne la même limitation vraie pour u + (et même |u|) par disparition dans le développement des termes de croissance plus rapide. L’auteur avait montré (Act. sc. ind. no 139 (1934)) que ce passage de 𝔐 u + à u + s’étend à u sousharmonique admettant une majorante harmonique (au voisinage de O, O exclu) ; il fait maintenant à peu près disparaître cette restriction de majoration harmonique et développe une étude analogue pour le voisinage du point à l’infini. Voici l’idée de la théorie pour τ=3. Supposons r s 𝔐 u + r sommable en r voisin de o (s>o) et soit p le plus grand entier <s. On développe 1/MP selon n=0 𝔓 n (cosγ)OP ¯ n /OM ¯ n+1 , dont on prendra un Σ partiel pour former ν(M)=1 / M P - n=0 p dμ P (μ mesure associée à u). Grâce à une étude comparée de l’allure de u et μ, on verra que l’intégrale existe, que OM ¯ 1+s ν + (M)o avec OM et que r 1+s 𝔐 (u-ν) + r o. De sorte que u-ν harmonique satisfait à cette même limitation vraie. On a ainsi une représentation intégrale dont on conclut que si r 1+λ 𝔐 u + r o, OM ¯ 1+λ+ε u + o (λ>o,ε>o). On peut perfectionner et supprimer en particulier cet ε si λ est non entier ou si λ=1. Ce cas de λ=1 est traité et approfondi autrement, par la méthode, simple en principe, mais délicate, de passage à la limite dans une intersphère, sur la représentation de Riesz avec fonction de Green ; elle est inspirée d’un travail récent de Heins (Annals of Math., 1949) donnant une représentation intégrale de u sousharmonique dans le plan entier, avec des hypothèses que l’on améliore ici. Toute cette étude demande ou amène beaucoup de lemmes dont certains présentent de l’intérêt en eux-mêmes, en particulier des compléments sur le problème de Dirichlet.

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Brelot, Marcel. Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point singulier. Annales de l'Institut Fourier, Volume 1 (1949) pp. 121-156. doi : 10.5802/aif.11. http://www.numdam.org/item/AIF_1949__1__121_0/