Construction and analysis of some convolution algebras

Beurling, Arne

Annales de l'Institut Fourier, Tome 14 (1964) no. 2, pp. 1-32.

À une famille $\Omega$ de fonctions positives $\omega$ sur un groupe $G$ abélien localement compact, on associe l’ensemble $A^2$ des fonctions qui sont de carré sommable sur $G$ par rapport à $dx/\omega \left(x\right)$ pour au moins un $\omega \in \Omega$. Sous certaines conditions simples, portant sur $\Omega$, c’est une algèbre de convolution, contenue dans $L^1\left(G\right)$. On étudie particulièrement le cas $G=$ droite réelle, $\Omega =$ ensemble des fonctions paires, sommables, décroissantes sur $]0,\infty [$. Une caractérisation explicite de $\tilde{A}$ (ensemble des transformées de Fourier des $f\in A$) est alors donnée, ainsi que la structure des idéaux fermés et la définition des formes linéaires sur $\tilde{A}$. On définit aussi l’ensemble des multiplicateurs sur $\tilde{A}$. Pour étudier les idéaux fermés, l’outil essentiel est l’opération de contraction dans $\tilde{A}$. Plusieurs généralisations et sujets d’études sont indiqués.