Complétion des catégories ordonnées

Ehresmann, Charles

Annales de l'Institut Fourier, Tome 14 (1964) no. 2, pp. 89-144.

Cet article fait suite à trois mémoires parus dans les Annales de l’Institut Fourier (tomes 10, 13 et 14). Son but est d’étendre aux catégories ordonnées les résultats sur les atlas et sur la complétion, précédemment obtenus dans le cas des groupoïdes sous-préinductifs et prélocaux.

Soit $({𝒞}^{•},<)$ une catégorie ordonnée régulière dont le groupoïde des éléments inversibles est ordonné semi-régulier. On associe à $({𝒞}^{•},<)$ les catégories ${\tilde{\Omega }}^s$-structurées régulières des fusées régulières et des fusées strictes régulières, qui ont pour catégorie quasi-inductive quotient la catégorie des fusées maximales et des fusées strictes maximales respectivement. En particulier, on montre que si $({𝒞}^{•},<)$ est préinductive la catégorie des fusées strictes maximales contient une sous-catégorie qui est une complétion de $({𝒞}^{•},<)$, c’est-à-dire qui est une catégorie inductive admettant $({𝒞}^{•},<)$ pour sous-catégorie ordonnée régulière et dont tout élément est un sous-agrégat d’éléments de $𝒞$. Si $({𝒞}^{•},<)$ est un groupoïde ordonné régulier, la catégorie des fusées strictes régulières est isomorphe à la catégorie des fusées strictes maximales et aussi à la catégorie des atlas réguliers.

En considérant certains couples de fusées régulières, on définit la notion de superfusées ; les superfusées forment une catégorie quasi-inductive régulière. Soit $({𝒞}^{•},<)$ une catégorie sous-prélocale vérifiant la condition (P). La catégorie des superfusées a pour sous-catégorie la catégorie quasi-inductive régulière des (P)-superfusées, dont une sous-catégorie saturée par induction admet pour quotient une catégorie sous-locale. On prouve que cette dernière est une complétion “universelle” de $({𝒞}^{•},<)$, d’une façon précise c’est une ${𝒥}_{\ell }^s$-projection de $({𝒞}^{•},<)$ dans ${𝒥}_{\ell }^u$, où ${𝒥}_{\ell }^u$ est la catégorie des foncteurs inductifs entre catégories sous-prélocales et ${𝒥}_{\ell }^s$ sa sous-catégorie pleine ayant pour objets les catégories sous-locales. Si de plus $({𝒞}^{•},<)$ est prélocale, sa complétion universelle est locale. Les résultats de ce travail ont des applications dans différentes questions, en particulier permettent de faire une théorie de la cohomologie à valeur dans une catégorie ordonnée.

[0] Complétion des catégories ordonnées, C.R.A.S., 257, 1963, p. 4110 ; Complétion des catégories sous-prélocales, C.R.A.S., 259, 1964, p. 701. | Zbl

[1] Catégories ordonnées, holonomie et cohomologie, Ann. Fourier, 14, 1 (1964), p. 205-268. | Numdam | Zbl

[2] Structures quotient, Comm. Math. Helv., 1963, p. 219-283. | Zbl

[3] Groupoïdes sous-inductifs, Ann. Fourier, 13, 2 (1963), p. 1-60. | Numdam | Zbl

[4] Espèces de structures locales, élargissement de catégories, Séminaire Topologie et Géo. diff. (Ehresmann), vol. III, 1961, Paris. | Numdam | Zbl