Les théorèmes de renouvellement
Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 1, pp. 169-187.

Soit D un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires E de D * E=-δ. Nous ne considérons que les D définis sur le groupe R, la droite réelle.

S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale E. Celle-ci s’exprime comme E=lim λ0 E λ E λ =(λδ-D) -1 . Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que E possède des limites, au sens des distributions, aux points + et -. La dérivée E s’annule à l’infini.

Il se peut que D n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe R et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille {C λ } de constantes positives telles que E λ -C λ dx converge vers une solution élémentaire E. Pour cette solution E la dérivée E possède des limites à droite et à gauche, à savoir

lim x ± E * f ( x ) = ± σ - 2 f ( y ) d y

σ 2 =x 2 D. La dérivée seconde E s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.

@article{AIF_1965__15_1_169_0,
     author = {Herz, Carl S.},
     title = {Les th\'eor\`emes de renouvellement},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {169--187},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {15},
     number = {1},
     year = {1965},
     doi = {10.5802/aif.203},
     mrnumber = {196824},
     zbl = {0202.47103},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.203/}
}
TY  - JOUR
AU  - Herz, Carl S.
TI  - Les théorèmes de renouvellement
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1965
SP  - 169
EP  - 187
VL  - 15
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.203/
DO  - 10.5802/aif.203
LA  - fr
ID  - AIF_1965__15_1_169_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Herz, Carl S.
%T Les théorèmes de renouvellement
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1965
%P 169-187
%V 15
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.203/
%R 10.5802/aif.203
%G fr
%F AIF_1965__15_1_169_0
Herz, Carl S. Les théorèmes de renouvellement. Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 1, pp. 169-187. doi : 10.5802/aif.203. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.203/

[1] W. Feller et S. Orey, A renewal theorem, Journ. Math. and Mech., 10 (1961), 619-624. | MR | Zbl

[2] W. Hoeffding, On sequences of sums of independent random vectors, 4th Berkeley Symposium on Math. Stat. and Prob., vol. II, 213-226. | MR | Zbl

[3] Frank Spitzer, Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614. | MR | Zbl

Cité par Sources :