Approximation avec croissance des fonctions holomorphes de plusieurs variables

Ferrier, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 1, pp. 67-87.

On étudie l’approximation des fonctions holomorphes dans un ouvert de ${\mathbf{C}}^n$, qui satisfont des hypothèses de croissance, par des fonctions holomorphes dans un ouvert plus grand et qui satisfont des hypothèses de croissance plus strictes. Les hypothèses de croissance sont définies par des poids $\delta ,{\delta }^{\prime }$, avec ${\delta }^{\prime }\ge \delta$, auxquels sont associées des algèbres $𝒪\left(\delta \right),𝒪\left({\delta }^{\prime }\right)$. On établit en particulier un théorème d’approximation des fonctions de $𝒪\left(\delta \right)$ par celles de $𝒪\left({\delta }^{\prime }\right)$ lorsque $\delta$ a une propriété de convexité convenable relativement aux fonctions de $𝒪\left({\delta }^{\prime }\right)$, à l’aide du calcul symbolique de L. Waelbroeck et des majorations pour l’opérateur $\overline{\partial }$-operator de L. Hörmander. On démontre aussi un énoncé de factorisation dans $𝒪\left({\delta }^{\prime }\right)$ avec la structure induite par $𝒪\left(\delta \right)$.

We study the approximation of holomorphic functions in an open subset of ${\mathbf{C}}^n$, satisfying growth conditions, by holomorphic functions defined in a given larger domain and satisfying given stronger growth conditions. We start from weight functions $\delta ,{\delta }^{\prime }$ on ${\mathbf{C}}^n$ such that ${\delta }^{\prime }\ge \delta$ and associate algebras $𝒪\left(\delta \right),𝒪\left({\delta }^{\prime }\right)$, such that $𝒪\left({\delta }^{\prime }\right)\subset 𝒪\left(\delta \right)$. We prove an approximation theorem when the weight function $\delta$ of small domain is convex with respect to functions in the large domain, by using the symbolic calculus of L. Waelbroeck and the estimates for the $\overline{\partial }$-operator of L. Hörmander. We also prove a factorization theorem in $𝒪\left({\delta }^{\prime }\right)$ with the structure defined by $𝒪\left(\delta \right)$.

[1] I. Cnop, Un problème de spectre dans certaines algèbres de fonctions holomorphes à croissance tempérée, C.R. Acad. Sc. Paris, A 270, (1970), 1690-1691. | MR | Zbl

[2] I. Cnop, A theorem concerning holomorphic functions with bounded growth (thesis).

[3] J.P. Ferrier, Séminaire sur les algèbres complètes, Springer Lectures Notes, n° 164, (1970). | MR | Zbl

[4] J.P. Ferrier, Sur la convexité holomorphe et les limites inductives d'algèbres O(δ) ; C.R. Acad. Sc. Paris. A, (1971). | Zbl

[5] L. Hörmander, Generators for some rings of analytic functions, Bull. Am. Math. Soc., 73, 943-949, (1967). | MR | Zbl

[6] L. Hörmander, L² estimates and existence theorems for the ∂-operator, Acta Math., 113, 89-152, (1965). | MR | Zbl

[7] B. Malgrange, Sur les systèmes différentiels à coefficients constants ; Coll. Int. du C.N.R.S., 117, (1963), 113-122. | MR | Zbl

[8] L. Waelbroeck, Etude spectrale des algèbres complètes, Mém. Cl. Sc. Acad. Roy. Belg., 31, fasc. 7, (1960). | MR | Zbl

[9] L. Waelbroeck, Lectures in spectral theory, Dep. Math. Univ. Yale, (1963).