Approximation par des opérateurs compacts ou faiblement compacts à valeurs dans C(X)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 4, p. 147-167

Let W=L (μ) and V=C(X). There exists a, non linear, norm continuous, nearest point projection from the space L(W,V) of bounded linear operators from W into V, to the subspace K(W,V) of compact (resp. F(W,V) of weakly compact) operators : that is a map P from L(W,V) into K(W,V) (resp. F(W,V)) satisfying T-P(T)=inf{T-R;RK(W,V)} (resp. inf{T-R;RF(W,V)}). In a latter part we study the sets K(T) and F(T) of approximants for a given operator T in L(W,V), and we prove that these sets have always an empty interior and, that under certain hypothesis, no extrem points.

Soient W=L (μ) et V=C(X). Il existe une application (non linéaire) normiquement continue TP(T) de l’espace des opérateurs bornés de W dans V sur l’espace des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) de W dans V telle que T-P(T) coïncide avec la distance de T au sous-espace formé des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts). Pour un opérateur donné T de W dans V on étudie les propriétés de l’ensemble K(T) (resp. F(T)) des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) tel que pour tout R de K(T) (resp. K(T)) la quantité T-R coïncide avec la distance de T à un sous-espace des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts).

@article{AIF_1977__27_4_147_0,
     author = {Fakhoury, Hicham},
     title = {Approximation par des op\'erateurs compacts ou faiblement compacts \`a valeurs dans $C(X)$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {27},
     number = {4},
     year = {1977},
     pages = {147-167},
     doi = {10.5802/aif.674},
     zbl = {0358.47011},
     mrnumber = {57 \#7237},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1977__27_4_147_0}
}
Fakhoury, Hicham. Approximation par des opérateurs compacts ou faiblement compacts à valeurs dans $C(X)$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 4, pp. 147-167. doi : 10.5802/aif.674. http://www.numdam.org/item/AIF_1977__27_4_147_0/

[1] E. Davies et G. Vincent Smith, Tensor products, infinite products and projective limits of simplexes, Math. Scand., 22 (1968), 145-164. | MR 39 #4638 | Zbl 0176.42802

[2] J. Dixmier, Les fonctionnelles linéaires sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert, Ann. of Math., 51 (1950), 387-408. | MR 11,441e | Zbl 0036.35801

[3] H. Fakhoury, Caractérisation des L-espaces duaux, Bull. Sci. Math., 96 (1972), 129-144. | MR 48 #12005 | Zbl 0238.46032

[4] H. Fakhoury, Existence d'une projection continue de meilleure approximation dans certains espaces de Banach, J. Math. Pures et Appl., 53 (1974), 1-16. | MR 50 #10648 | Zbl 0286.46023

[5] J. Hennefeld, A decomposition for B(X)* and unique Hahn-Banach extension, Pacific J. Math., 46 (1973), 197-199. | MR 51 #6492 | Zbl 0272.46013

[6] R. Holmes et B. Kripke, Best approximation by compact operators, Ind. Univ. Math. J., 21 (1971-1972), 255-263. | MR 45 #5718 | Zbl 0228.41005

[7] R. Holmes, B. Scranton et J. Ward, Approximation from the space of compact operators and other M-ideals, Duke Math. J., 42 (1975), 259-269. | MR 52 #15104 | Zbl 0332.47024

[8] A. Lazar, Affine products of simplexes, Math. Scand., 22 (1968), 165-175. | MR 40 #4727 | Zbl 0176.42803

[9] A. Lazar et J. Lindenstrauss, Banach spaces whose duals are L1 and their representing matrices, Acta Math., 126 (1971), 165-193. | MR 45 #862 | Zbl 0209.43201

[10] J. Lindenstrauss, Extension of compact operators, Mem. Amer. Math. Soc., 48 (1964). | MR 31 #3828 | Zbl 0141.12001

[11] J. Lindenstrauss et D. Wulbert, Banach spaces whose duals are L1, J. Funct. Analysis, 4 (1969), 332-349. | MR 40 #3274 | Zbl 0184.15102

[12] C. Olsen, Extremal points and finite rank operators in the set of compact approximants, Ind. Univ. Math. J., 24 (1974), 409-416. | MR 50 #1038 | Zbl 0301.47023

[13] E. Thorp, Projections onto the subspace of compact operators, Pacific J. Math., 10 (1960), 693-696. | MR 22 #4955 | Zbl 0119.31904

[14] D. Wulbert, Projections of norm 1 on C(X), Notices Amer. Math. Soc., 15 (1968), 362.