Calcul fonctionnel dépendant de la croissance des coefficients spectraux

Nguyen, T. H.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 169-199.

Soient $a_1,...,a_n$ des éléments d’une $b$-algèbre commutative unifère $A$. On définit et étudie un “spectre” de $a=(a_1,...,a_n)$ qui dépend de la croissance des fonctions $u_1\left(s\right),...,u_n\left(s\right)$ de l’égalité spectrale

$$(a_1-s_1)u_1\left(s\right)+\cdots +(a_n-s_n)u_n\left(s\right)=1$$

près du spectre simultané. À partir des propriétés de ce spectre, on construit un calcul fonctionnel qui, réduit au cas banachique, s’étend à certaines fonctions supposées seulement holomorphes à l’intérieur du spectre simultané. Ce calcul fonctionnel permet aussi d’étudier la régularité des éléments $a_1,...,a_n$ et des fonctions $u_1\left(s\right),...,u_n\left(s\right)$.

Let $a_1,...,a_n$ be elements of a commutative $b$-algebra with unit. We define and study a “spectrum” of $a=(a_1,...,a_n)$ which depends on the growth of functions $u_1\left(s\right),...,u_n\left(s\right)$ of the spectral equality

$$(a_1-s_1)u_1\left(s\right)+\cdots +(a_n-s_n)u_n\left(s\right)=1$$

near the joint spectrum. From the properties of this spectrum, we construct a functional calculus which, in the Banach case, extends to a class of functions supposed only holomorphic in the interior of the joint spectrum. This functional calculus also allows to study the regularity of elements $a_1,...,a_n$ and of functions $u_1\left(s\right),...,u_n\left(s\right)$.

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