Une nouvelle classe d'espaces de Banach vérifiant le théorème de Grothendieck

Pisier, Gilles

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 1, pp. 69-90.

Soit $W$ un espace ${ℒ}_1$ et soit $R$ un sous-espace réflexif de dimension infinie de $W$. Nous montrons que le quotient $W/R$ vérifie le théorème de Grothendieck, c’est-à-dire que tout opérateur de $W/R$ dans un espace de Hilbert est 1-sommant; par ailleurs, $W/R$ n’est pas un espace ${ℒ}_1$. Cela permet de répondre négativement à une question de Lindenstrauss-Pełczyński ainsi qu’à une question similaire de Grothendieck.

Let $W$ be a ${ℒ}_1$-space, and let $R$ be an infinite dimensional reflexive subspace of $W$. We show that the quotient $W/R$ satisfies Grothendieck’s theorem, i.e. that every operator from $W/R$ into a Hilbert space is 1-absolutely summing; besides, $W/R$ is not a ${ℒ}_1$-space. This provides a negative answer to a question of Lindenstrauss-Pełczyński and to a similar question of Grothendieck.

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