Soit un nombre premier impair. Soit une extension abélienne réelle de de degré premier à et soit son groupe de Galois; soit () un caractère -adique irréductible de . Soit la -extension abélienne maximale de non ramifiée en dehors de et soit le -module Gal ; (la -composante de ) est un module fini sur l’anneau des entiers de (corps des valeurs sur d’un caractère de degré 1 divisant ). On construit explicitement pour tout un élément de qui annule le module . On montre ensuite que la suite des a une limite -adique (qui annule ) et que cette limite est le nombre (valeur en “” de la fonction -adique relative au caractère ).
Let be an odd prime number. Let be a real abelian extension of with a degree prime to and let be the Galois group of ; Let () be an irreducible -adic character of . Let be the maximal abelian -extension of unramified outside and let be the -module Gal ; (the -component of ) is a finite module over the ring of integers of (field generated over by the values of a character of degree 1 dividing ). We construct explicitely, for all , an element in which annihilates the module . We then show that the sequence has a -adic limit (which annihilates ) and that this limit is the number (value at “” of the -adic function of the character ).
@article{AIF_1979__29_1_15_0, author = {Gras, Georges}, title = {Annulation du groupe des $\ell $-classes g\'en\'eralis\'ees d{\textquoteright}une extension ab\'elienne r\'eelle de degr\'e premier \`a $\ell $}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {15--32}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {29}, number = {1}, year = {1979}, doi = {10.5802/aif.725}, mrnumber = {80h:12008}, zbl = {0387.12008}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.725/} }
TY - JOUR AU - Gras, Georges TI - Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $ JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1979 SP - 15 EP - 32 VL - 29 IS - 1 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.725/ DO - 10.5802/aif.725 LA - fr ID - AIF_1979__29_1_15_0 ER -
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Gras, Georges. Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $. Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 15-32. doi : 10.5802/aif.725. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.725/
[1] On ℓ-adic Zeta functions, Ann. of Math., 98 (1973), 498-550. | MR | Zbl
and ,[2] Nombres de Bernoulli et fonctions L p-adiques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 17, 2 (1967), 281-333. | Numdam | MR | Zbl
,[3] Sur le groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes réelles, à paraître dans le Sém. Delange, Pisot, Poitou (exposé du 3 janvier 1977). | Numdam | MR | Zbl
,[4] Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 27, 1 (1977), 1-66. | Numdam | MR | Zbl
,[5] Application de la notion de ϕ-objet à l'étude du groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes, Publ. math. Univ. de Besançon (1975-1976).
,[6] Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Soc. Math. France, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. | Numdam | MR | Zbl
,[7] On p-adic L-functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. Jour., 67 (1977). | MR | Zbl
,[8] On Zℓ-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math., 98 (1973), 246-326. | MR | Zbl
,[9] Un essai de généralisation du Spiege-lungssatz, à paraître au Journal de Crelle.
et ,Cité par Sources :