Représentation des entiers naturels et suites uniformément équiréparties

Coquet, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 1-5.

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement de $\alpha$ en fraction continue. Dans un article paru aux Annales de l’Institut Fourier (31 (1981), 1–15), Coquet, Rhin et Toffin montrent que, lorsque $x$ ou $y$ est irrationnel, la suite $xs+y{\sigma }_{\alpha }$ est équirépartie modulo 1. On précise ici que l’équirépartition est uniforme.

$s\left(n\right)$ denotes the sum of $q$-adic digits of $n$ and ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ the sum of digits of $n$ related to the continued fraction expansion of $\alpha$. In a previous paper (Annales de l’Institut Fourier 31 (1981), 1–15), Coquet, Rhin and Toffin proved that the sequence $xs+y{\sigma }_{\alpha }$ is uniformly distributed modulo one if $x$ or $y$ is irrational. This sequence is shown to be well-distributed.

[1] J. Besineau, Indépendance statistique d'ensembles liés à la fonction somme des chiffres, Acta Arithmetica, 20 (1972), 401-416. | MR | Zbl

[2] J. Coquet, G. Rhin, Ph. Toffin, Représentations des entiers naturels et indépendance statistique 2, Annales Institut Fourier, 31, 1 (1981), 1-15. | Numdam | MR | Zbl

[3] L. Kuipers, H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences, Wiley Interscience, New-York, (1974). | MR | Zbl