Sur les ${𝐙}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 1-18.

Soit $k=\mathbf{Q}\left(\sqrt{-m}\right)$ un corps quadratique imaginaire, soient $k_{\infty }$ et $F$ ses deux ${\mathbf{Z}}_2$-extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit $\check{k}$ son 2-corps de classes de Hilbert. Soient $𝒫$ le complété en 2 de $k$, $\rho =0$ ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de $m$ est congru à $\pm 1\mathrm{mod}8$, $\chi =0$ ou 1 le 2-rang de Gal$(k_{\infty }\cap F/k)$, et $t=0,1$ ou 2 le 2-rang de Gal${\check{k}}_{\infty }F\cap \check{k}/k).$ On a $\chi \le \rho$, et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre $𝒫$, $\chi$ et $t$, mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires de nature arithmétique, ce qui nous permet d’obtenir la classification des corps $k$ par rapport aux invariants $𝒫,\rho ,\chi ,t$ (19 cas dont 17 sont tels que $t=0\iff \chi =1$). Tous ces résultats reposent sur la description de Gal$(k_{\infty }F/k)$ au moyen d’une fonction logarithme convenable sur le groupe des idéaux de $k$, définie et étudiée dans 2 articles au Journal de Crelle.

Let $k=\mathbf{Q}\left(\sqrt{-m}\right)$ be an imaginary quadratic field, let $k_{\infty }$ and $F$ be its two natural ${\mathbf{Z}}_2$-extensions (the cyclotomic and the prodiedral one), and let $\check{k}$ be its 2-Hilbert class field. Let $𝒫$ be the completion of $k$ at 2, $\rho =0$ or 1 equals 1 if and only if all odd divisors of $m$ are congruent to $\pm 1$ mod 8, $\chi =0$ or 1 be the 2-rank of Gal$k_{\infty }\cap F/k)$, and $t=0,1$ or 2 be the 2-rank of Gal$k_{\infty }\cap \check{k}/k)$. We have $\chi \le \rho$, and some elementary cohomological facts give other constraints between $𝒫$, $\chi$ and $t$, but we find 2 additional obstructions of arithmetical kind which allow us to obtain the classification of the fields $k$ with regard to the invariants $𝒫,\rho ,\chi ,t$ (19 cases, 17 of which are such that $t=0\iff \chi =1$). All these results are based on the description of Gal$(k_{\infty }F/k)$ by mean of a suitable logarithm function on the ideal group of $k$, defined and studied in 2 papers in Crelles Journal.

[1] E. Artin and J. Tate, Class field theory, W. A. Benjamin, New-York (1967). | Zbl

[2] J. E. Carroll, On determining the quadratic subfields of Z2-extensions of complex quadratic fields, Compositio Mathematica, 30 (1975), 259-271. | Numdam | MR | Zbl

[3] J. E. Carroll and H. Kisilevsky, Initial layers of Zl-extensions of complex quadratic fields, Compositio Mathematica, 32 (1976), 157-168. | Numdam | MR | Zbl

[4] A. Charifi, Groupes de torsion attachés aux extensions abéliennes p-ramifiées maximales (cas des corps totalement réels et des corps quadratiques imaginaires), thèse de 3e cycle, Besançon (1982).

[5] G. Gras, Logarithme p-adique et groupes de Galois, Journal de Crelle, 343 (1983), 64-80. | MR | Zbl

[6] G. Gras, Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres, Journal de Crelle, 333 (1982), 86-132. | MR | Zbl