Hickel, Michel
Solution d'une conjecture de C. Berenstein - A. Yger et invariants de contact à l'infini
Annales de l'institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 3 , p. 707-744
Zbl 0991.13009 | MR 1838463 | 2 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.1834
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_2001__51_3_707_0

Classification:  14A05,  13A15,  32C99
Mots clés: Nullstellensatz effectif, clôture intégrale des idéaux, inégalités de Łojasiewicz
Soient k un corps commutatif et I=(p 1 ,,p m )k n [X] un idéal de l’anneau des polynômes k[X 1 ,,X n ] (éventuellement I=k n [X]). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme p, élément de la clôture intégrale I ¯ de l’idéal I, on a une représentation p m = 1im p i q i ,avecmaxdeg(q i p i )mdegp+md 1 d m ,d i =degp i ,1im.
Let k be a commutative field and I=(p 1 ,,p m )k n [X] an ideal of the polynomial ring k[X 1 ,,X n ] (possibly I=k n [X]). We prove a conjecture of C. Berenstein - A. Yger asserting that for every p in the integral closure of the ideal I, one has a representation p m = 1im p i q i ,withmaxdeg(q i p i )mdegp+md 1 d m , where d i =degp i ,1im.

Bibliographie

[A1] F. Amoroso Tests d'appartenance d'après un théorème de J. Kollár, C.R. Acad. Sci. Paris, Série I, Math., 309 (1989), p. 691 -694 MR 1054279 | Zbl 0703.13003

[A2] F. Amoroso; Éd. P. Philippon Membership Problem, Approximation diophantienne et nombres Transcendants, Luminy 1990, Walter de gruyter, Berlin (1992), p. 1 -13 Zbl 0783.13015

[A3] F. Amoroso On a conjecture of C. Berenstein and A. Yger, Birkhäuser verlag, Progress in Mathematics, vol. 143 (1996) MR 1414443 | Zbl 0866.13008

[AHV1] J.M. Aroca; H. Hironaka; J.L. Vicente The theory of the maximal contact, Memorias de Mathematica del Instituto ``Jorge Juan'', Madrid (1975) no. 29 MR 444999 | Zbl 0366.32008

[AHV2] J.M. Aroca; H. Hironaka; J.L. Vicente Desingularization theorems, Memorias de Matematica del Instituto ``Jorge Juan'', Madrid (1977) no. 30 Zbl 0366.32009

[B1] W.D. Brownawell Bounds for the degrees in the Nullstellensatz, Ann. of Math, 126 (1987), p. 577 -591 Article  MR 916719 | Zbl 0641.14001

[B2] W.D. Brownawell A prime product version of the Nullstellensatz, Michigan Math. Journal, 45 (1998), p. 581 -597 Article  MR 1653279 | Zbl 0964.14002

[BS] J. Briançon; H. Skoda Sur la clôture intégrale d'un idéal de germes de fonctions holomorphes en un point de n , C.R. Acad. Sci. Paris, Série A, Math., 278 (1974), p. 949 -951 MR 340642 | Zbl 0307.32007

[BY1] C.A. Berenstein; A. Yger Bounds for the degrees in the division Problem, Michigan Math. J, 37 (1990) no. 1, p. 25 -43 Article  MR 1042512 | Zbl 0702.32006

[BY2] C.A. Berenstein; A. Yger; Éd. P. Philippon Formules de représentation intégrale et problèmes de division, Approximation diophantiennes et nombres transcendants Luminy 1990, Walter de Gruyter, Berlin (1992), p. 16 -37 Zbl 0765.32002

[BY3] C.A. Berenstein; A. Yger Residue calculus and effective Nullstellensatz, American Journal of Mathematics, 121 (1999), p. 723 -796 Article  MR 1704477 | Zbl 0944.14002

[CKT] E. Cygan; I. Krasinski; P. Tworzewski Separation of algebraic sets and the Łojasiewicz exponent of polynomial mappings, Invent. Math, 136 (1999), p. 75 -87 Article  Zbl 0942.32003

[EL] L. Ein; R. Lazarsfeld A Geometric effective Nullstellensatz, Invent. Math, 137 (1999), p. 427 -448 Article  MR 1705839 | Zbl 0944.14003

[F] W. Fulton Intersection theory, Springer Verlag, Ergebnisse der mathematic und ihrer Grenzgebiete, 3 Folge, band (1984) MR 732620 | Zbl 0541.14005

[H] G. Hermann Die Frage der endlich vielen Schritter in der theorie polynomial ideale, Math. Ann, 95 (1926), p. 736 -788 Article  JFM 52.0127.01 | MR 1512302

[Hi1] M. Hickel Fontion de Artin et germes de courbes tracées sur un germe d'espace analytique, American Journal of Mathematics, 115 (1993) no. 6, p. 1299 -1335 Article  MR 1254735 | Zbl 0804.32006

[Hi2] M. Hickel Sur l'ubiquité d'un théorème de J. Briançon-H. Skoda, Effectivity problems algebraic and analytic methods, University of Calabria (Italie) (juin 1998), p. 22 -28

[HIO] M. Herman; S. Ikoda; U. Orbanz Equimultiplicity and blowing up. An algebraic study with an appendice by B. Moonen, Springer-Verlag (1988) MR 954831 | Zbl 0649.13011

[Hir] H. Hironaka Introduction to the theory of infinitely near singular points, Memorias de Mathematica del Instituto ``Jorge Juan'', Madrid (1974) no. 28 MR 399505 | Zbl 0366.32007

[JKS] S. Ji; J. Kollár; B. Shiffman A global Łojasiewicz inéquality for algebraic varieties, Transactions of the American Mathematical Society, 129 (1992) no. 2, p. 813 -818 Article  Zbl 0762.14001

[K1] J. Kollár Sharp effective Nullstenellensatz, Journal of the American Mathematical Society, 1 (1988), p. 963 -975 MR 944576 | Zbl 0682.14001

[K2] J. Kollár Effective Nullstellensatz for arbitrary ideals, J. Eur. Math. Soc., 1 (1999), p. 313 -337 Article  MR 1714736 | Zbl 0986.14043

[LS] J. Lipman; A. Sathaye Jacobian ideals and a theorem of J. Briançon-H. Skoda, Michigan Math. J, 28 (1981), p. 199 -222 Article  MR 616270 | Zbl 0438.13019

[LT] M. Lejeune; B. Teissier Clôture intégrale des idéaux et équisingularité, Séminaire Lejeune-Tessier, centre de Mathématiques école Polytechnique, Publication Université Scientifique et Médicale de Grenoble, chapitre 1 (1974)

[LTe] J. Lipman; B. Teissier Pseudo-Rational local rings and a theorem of Briançon-Skoda about integral closure of ideals, Michigan Math. J, 28 (1981), p. 97 -116 Article  MR 600418 | Zbl 0464.13005

[M] H. Matsumura Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, no 8 (1989) MR 1011461 | Zbl 0666.13002

[MM] E. Mayr; A. Meyer The complexity of the word problem for commutative semi-groups and polynomial ideals, Adv. in Math, 46 (1982), p. 305 -329 Article  MR 683204 | Zbl 0506.03007

[NR] D.G. Northcott; D. Rees Reductions of Ideals in local rings, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 50 (1984) no. part 2, p. 145 -158 MR 59889 | Zbl 0057.02601

[P] P. Philippon Théorème des zéros effectifs d'après J. Kollár, Problèmes diophantiens 1987/88, Publication de l'Université de Paris VI, no 88 (1988)

[Ray] M. Raynaud Contre exemple au "Vanishing theorem" en caractéristique positive, C.P. Ramanujan a tribute (Tata Inst. Res. Studies in Math.) no 8, p. 273 -278 Zbl 0441.14006

[Re] D. Rees Lectures on the asymptotic theory of ideals, Cambridge University Press, London mathematical Society Lectures Notes Series, 113 Zbl 0669.13001

[S] P. Samuel Some asymptotic properties of ideals, Ann. of Math, 56 (1952), p. 11 -21 Article  MR 49166 | Zbl 0049.02301

[Te1] B. Teissier Variétés polaires I, Invariants polaires des singularités d'hypersurfaces, Invent. Math, 40, p. 267 -292 MR 470246 | Zbl 0446.32002

[Te2] B. Teissier Variétés polaires II, Multiplicités polaires, sections planes et conditions de Whitney, proceedings La Rabida, Springer-Verlag (L.N. in Mathematics) no 961 (1981) Zbl 0585.14008

[Te3] B. Teissier Résultats récents d'algèbre commutative effective, Séminaire Bourbaki 1989-90, no 178 (42ème année) Numdam | Zbl 0743.13017

[ZS] O. Zariski; P. Samuel Commutative algebra, Van Nostrand, New York vol. 1 ; vol. 2 (1958 ; 1960) Zbl 0081.26501