Mesures de Mahler et équidistribution logarithmique

Chambert-Loir, Antoine; Thuillier, Amaury

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 3, pp. 977-1014.

Soit $X$ un schéma projectif intègre défini sur un corps de nombres $F$ ; soit $L$ un fibré en droites ample sur $X$ muni d’une métrique adélique semi-positive au sens de Zhang. Les résultats principaux de cet article sont :

• (1) Une formule qui calcule les hauteurs locales (relativement à $L$) d’un diviseur de Cartier sur $X$ comme des « mesures de Mahler » généralisées, c’est-à-dire les intégrales de fonctions de Green pour $D$ contre des mesures associées à $L$ ;
• (2) Un théorème d’équidistribution des points de « petite » hauteur valable pour des fonctions-test à singularités logarithmiques le long d’un diviseur $D$, pourvu que la hauteur de $D$ soit « minimale ». Dans le contexte de la dynamique algébrique, « petite » signifie de hauteur tendant vers $0$, et « minimale » signifie de hauteur nulle.

Let $X$ be a projective integral scheme over a number field $F$; let $L$ be a ample line bundle on $X$ together with a semi-positive adelic metric in the sense of Zhang. The main results of this article are

• (1) A formula which allows to compute the local heights (relative to $L$) of a Cartier divisor $D$ on $X$ as generalized “Mahler measures”, i.e., integrals of Green functions for $D$ against measures attached to $L$;
• (2) A theorem of equidistribution of points of “small” height valid for functions with logarithmic singularities along a divisor $D$, provided the height of $D$ is “minimal”. In the context of algebraic dynamics, “small” means of height converging to $0$, and “minimal” means height $0$.

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