Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique
Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 3, pp. 1105-1123.

Soit K un corps p-adique, G son groupe de Galois absolu et v la valuation sur C p . Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un AR, xC p vérifie v(σx-x)A pour tout σG, alors il existe yK tel que v(x-y)A-c, avec c=p/(p-1) 2 . Ax se pose la question de l’optimalité de la constante c, que nous étudions ici. En utilisant l’extension de K engendrée par les racines p m -es d’une uniformisante fixée de K, nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les xC p tels que v(σx-x)A pour tout σG, ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de G à coefficients dans l’anneau des entiers de K.

Let K be a p-adic field, G its absolute Galois group and v the valuation on C p . In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some AR, xC p satisfies v(σx-x)A for all σG, then there exists yK such that v(x-y)A-c, with c=p/(p-1) 2 . Ax questions the optimality of the constant c, which we study here. Using the extension of K generated by p m -th roots of a fixed uniformizer of K, we find the optimal constant and some more information about those elements in C p satisfying v(σx-x)A for all σG, which allows us to give a description the first cohomology group of G with coefficients in the ring of integers of K.

DOI : 10.5802/aif.2548
Classification : 11S15, 11S25
Mot clés : constante, optimalité, Ax-Sen-Tate, cohomologie galoisienne, $p$-adique, ramification, suite twist-récurrente
Keywords: Constant, optimality, Ax-Sen-Tate, Galois cohomology, $p$-adic, ramification, twist-recurrent
Le Borgne, Jérémy 1

1 Université de Rennes 1 IRMAR Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex (France)
@article{AIF_2010__60_3_1105_0,
     author = {Le Borgne, J\'er\'emy},
     title = {Optimisation du th\'eor\`eme {d{\textquoteright}Ax-Sen-Tate} et application \`a un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1105--1123},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {60},
     number = {3},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/aif.2548},
     mrnumber = {2680825},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2548/}
}
TY  - JOUR
AU  - Le Borgne, Jérémy
TI  - Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2010
SP  - 1105
EP  - 1123
VL  - 60
IS  - 3
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2548/
DO  - 10.5802/aif.2548
LA  - fr
ID  - AIF_2010__60_3_1105_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Le Borgne, Jérémy
%T Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2010
%P 1105-1123
%V 60
%N 3
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2548/
%R 10.5802/aif.2548
%G fr
%F AIF_2010__60_3_1105_0
Le Borgne, Jérémy. Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 3, pp. 1105-1123. doi : 10.5802/aif.2548. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2548/

[1] Ax, J. Zeros of polynomials over local fields, Journal of Algebra, Volume 15 (1970), pp. 417-428 | DOI | MR | Zbl

[2] Breuil, C. Une application du corps des normes, Compositiones Mathematicae, Volume 117 (1999), pp. 189-203 | DOI | MR | Zbl

[3] Caruso, X. F p -représentations semi-stables (préprint, 2008)

[4] Colmez, P. Notes du cours de M2 (Corps locaux, http ://people.math.jussieu.fr /colmez)

[5] Colmez, P. Notes du cours de M2 (Introduction aux anneaux de Fontaine, http ://people.math.jussieu.fr/ colmez)

[6] Kedlaya, K. The algebraic closure of the power series field in positive characteristic, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 129 (2001), pp. 3461-3470 | DOI | MR | Zbl

[7] Kedlaya, K. Power Series and p-adic Algebraic Closures, Journal of Number Theory, Volume 89 (2001), pp. 24-339 | DOI | MR | Zbl

[8] Sen, S. On automorphisms of local fields, Annals of Mathematics, Volume 90 (1969), pp. 33-46 | DOI | MR | Zbl

[9] Serre, J.-P. Corps locaux, Hermann, 1968 | MR

[10] Tate, J. p-divisible groups, Proceedings of a conference on Local fields, Springer, Driebergen (1966), pp. 158-183 | MR | Zbl

[11] Wintenberger, J.-P. Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux ; applications, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, Volume 16 (1983), pp. 59-89 (4ème série) | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :