Univers de Bianchi et champs spinoriels

Henneaux, Marc

Annales de l'institut Henri Poincaré. Section A, Physique Théorique, Tome 34 (1981) no. 3, pp. 329-349.

[1] Nous nous basons essentiellement sur les exposés de M.A.H. Mac Callum, Cosmological models from a geometric point of view, Cargèse Lectures in Physics, t. 6, p. 61, édité par E. Schatzman, Gordon and Breach, New York, 1973.

M.P. Ryan et L.C. Shepley, Homogeneous Relativistic Cosmologies, Chapitres 9 et suivants. Princeton University Press, Princeton, 1975. | MR

A.H. Taub, Spatially homogeneous universes, Proceedings of the first Marcel Grossman meeting on General Relativity, p. 231, édité par R. Ruffini, North Holland, Amsterdam, 1977.

[2] J.D. Barrow et R.A. Matzner, Phys. Rev., t. D21, 1980, p. 336. | MR

[3] R.T. Jantzen, Comm. Math. Phys., t. 64, 1979; p. 211; Nuov. Cim., t. 55B, 1980, p. 161. | MR | Zbl

[4] On ne considère ici que des tétrapodes orthonormés possédant la même orientation dans l'espace et le temps que les bases {∂/∂x0, Xa} dans lesquelles les constantes de structure prennent les valeurs canoniques mentionnées dans le texte. Rappelons que les tétrapodes orthonormés sont définis par h(λ)ρ.h(μ)σ.gρσ = η(λμ) ≡ diag (-, +, +, +) d'où l'on tire notamment (compte tenu de ce qui précède) : det h(m)a = + (det gab)1/2 Les indices entre parenthèses sont les indices des tétrapodes. Notons aussi que les premières lettres de l'alphabet latin sont réservées aux composantes des tenseurs exprimées dans les bases invariantes {Xa}, tandis que les lettres du milieu de l'alphabet (m, n ... ) désignent leurs composantes dans les bases des coordonnées {∂/∂xm ≡ ∂m} (cette règle s'applique uniquement aux indices sans parenthèse!). Enfin, pour nous conformer à l'usage, nous avons adopté un langage qui se réfère aux systèmes de coordonnées. Pour une formulation plus intrinsèque du formalisme hamiltonien, nous renvoyons le lecteur aux articles de Kuchar : K. Kuchař, J. Math. Phys., t. 17, 1976, p. 777, 792, 801.

[5] M. Henneaux, Gen. Rel. Grav., t. 12, 1980, p. 137. | MR | Zbl

[6] F.A. Berezin et M.S. Marinov, Ann. Phys. (N. Y.), t. 104, 1977, p. 336. R. Casalbuoni, Nuov. Cim., t. 33A, 1976, p. 115.

[7] C. Teitelboim, Constrained Hamiltonian Systems, Cours donné à l'Université de Princeton en 1977 (non publié).

[8] P.A.M. Dirac, Interacting Gravitational and Spinor Fields, dans Recent Developments in General Relativity, Pergamon Press, Oxford, 1962. J.E. Nelson et C. Teitelboim, Ann. Phys. (N. Y.), t. 116, 1978, p. 86. M. Henneaux, Gen. Rel. Grav., t. 9, 1978, p. 1031. | MR

[9] M. Henneaux, Phys. Rev., t. D21, 1980, p. 857. | MR

[10] M.A.H. Mac Callum et A.H. Taub, Comm. Math. Phys., t. 25, 1972, p. 173. | MR

[11] P. Havas, Acta Phys. Austr., t. 38, 1973, p. 145 (appendice B).

[12] Ce problème de densité se comprend aisément : pour passer de l'hamiltonien général d'Einstein-Dirac à l'hamiltonien des cosmologies de classe A, on simplifie formellement par la quantité ∫ d3x.|ωam|. Celle-ci n'est constante que pour les transformations de GL(3) de déterminant unité.

[13] C.J. Isham et J.E. Nelson, Phys. Rev., t. D10, 1974, p. 3226. T.M. Davis et J.R. Ray, Phys. Lett., t. 51A, 1975, p. 199. | MR

[14] T.M. Davis et J.R. Ray, J. Math. Phys., t. 17, 1976, p. 1049. J.R. Ray, Progr. Theor. Phys., t. 63, 1980, p. 1213.

[15] N.S. Baaklini, Phys. Lett., t. 66A, 1978, p. 357.

[16] V.A. Belinskii et I.M. Khalatnikov, Soviet Phys., J. E. T. P., t. 29, 1969, p. 911.

O. Obregón et M.P. Ryan, Bianchi type-IX cosmological models with homogeneous spinor fields. Prepublication SPF-06-80 de l' « Universidad Nacional Autónoma de México » (à paraître dans J. Math. Phys.).

T.R. Michalik et M.A. Melvin, J. Math. Phys., t. 21, 1980, p. 1952.