Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques

Hervé, Loïc

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 44 (2008) no. 2, pp. 280-292.

Soit $Q$ une probabilité de transition sur un espace mesurable $E$, admettant une probabilité invariante, soit ${\left(X_n\right)}_n$ une chaîne de Markov associée à $Q$, et soit $\xi$ une fonction réelle mesurable sur $E$, et $S_n={\sum }_k^n=\xi \left(X_k\right)$. Sous des hypothèses fonctionnelles sur l’action de $Q$ et des noyaux de Fourier $Q\left(t\right)$, nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème limite central pour la suite ${\left(\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)}_n$. Selon les hypothèses nous obtenons une vitesse en $n^{-\tau /2}$ pour tout $\tau <1$, ou bien en $n^{-1/2}$. Nous appliquons la méthode de Nagaev en l’améliorant, d’une part grâce à un théorème de perturbations de Keller et Liverani, d’autre part grâce à une majoration de $|𝔼\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t{S}_n/\sqrt{n}}\right]-{\mathrm{e}}^{-t^2/2}|$ obtenue par une méthode de réduction en différence de martingale. Lorsque $E$ est non compact ou $\xi$ est non bornée, les conditions requises ici sur $Q\left(t\right)$ (en substance, des conditions de moment sur $\xi$) sont plus faibles que celles habituellement imposées lorsqu’on utilise le théorème de perturbation standard. Par exemple, dans le cadre des chaînes $V$-géométriquement ergodiques ou des modèles itératifs Lipschitziens, on obtient dans le t.l.c. une vitesse en $n^{-1/2}$ sous une hypothèse de moment d’ordre 3 sur $\xi$.

Let $Q$ be a transition probability on a measurable space $E$ which admits an invariant probability measure, let ${\left(X_n\right)}_n$ be a Markov chain associated to $Q$, and let $\xi$ be a real-valued measurable function on $E$, and $S_n={\sum }_k^n=\xi \left(X_k\right)$. Under functional hypotheses on the action of $Q$ and the Fourier kernels $Q\left(t\right)$, we investigate the rate of convergence in the central limit theorem for the sequence ${\left(\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)}_n$. According to the hypotheses, we prove that the rate is, either $O\left(n^{-\tau /2}\right)$ for all $\tau <1$, or $O\left(n^{-1/2}\right)$. We apply the spectral Nagaev’s method which is improved by using a perturbation theorem of Keller and Liverani, and a majoration of $|𝔼\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t{S}_n/\sqrt{n}}\right]-{\mathrm{e}}^{-t^2/2}|$ obtained by a method of martingale difference reduction. When $E$ is not compact or $\xi$ is not bounded, the conditions required here on $Q\left(t\right)$ (in substance, some moment conditions on $\xi$) are weaker than the ones usually imposed when the standard perturbation theorem is used in the spectral method. For example, in the case of $V$-geometric ergodic chains or Lipschitz iterative models, the rate of convergence in the c.l.t. is $O\left(n^{-1/2}\right)$) under a third moment condition on $\xi$.

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