Controllability of a string submitted to unilateral constraint

Ammar-Khodja, Farid; Micu, Sorin; Münch, Arnaud

Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, Tome 27 (2010) no. 4, pp. 1097-1119.

Cet article étudie les propriétés de contrôlabilité d'une corde homogène de longeur un, soumise à un obstacle dépendant du temps (décrit par la fonction ${\left\{\psi \right(t\left)\right\}}_{0⩽t⩽T}$) à l'extrémité $x=1$. Le contrôle Dirichlet agit à l'extrémité $x=0$. La corde est modélisée par l'équation des ondes $y^{″}-y_{xx}=0$ dans $(t,x)\in (0,T)\times (0,1)$, tandis que l'obstacle est représenté par les conditions de Signorini $y(t,1)⩾\psi \left(t\right)$, $y_x(t,1)⩾0$, $y_x(t,1)(y(t,1)-\psi \left(t\right))=0$ sur $(0,T)$. La méthode des caractéristiques et un argument de point fixe permettent de réduire le problème à l'analyse des solutions en $x=1$. Nous prouvons que, pour tout $T>2$ et donnée initiale $(y^0,y^1)\in H^1(0,1)\times L^2(0,1)$ avec $\psi \left(0\right)⩽y^0\left(1\right)$, le système est contrôlable à zéro avec des contrôles dans $H^1(0,T)$. Deux approches sont utilisées. On introduit tout d'abord un système pénalisé en $y_{ϵ}$, transformant les conditions de Signorini en l'égalité $y_{ϵ,x}(t,1)={ϵ}^{-1}{[y_{ϵ}(t,1)-\psi \left(t\right)]}^{-}$, ϵ étant un paramètre positif. On construit explicitement une famille de contrôle du problème pénalisé uniformément bornée par rapport à ϵ dans $H^1(0,T)$. Cela nous permet de passer à la limite et d'obtenir un contrôle pour le système initial. Une approche plus directe, relevant de la théorie des inéquations différentielles, conduit à un résultat positif similaire. Quelques applications numériques complètent l'étude.

This article studies the controllability property of a homogeneous linear string of length one, submitted to a time dependent obstacle (described by the function ${\left\{\psi \right(t\left)\right\}}_{0⩽t⩽T}$) located below the extremity $x=1$. The Dirichlet control acts on the other extremity $x=0$. The string is modelled by the wave equation $y^{″}-y_{xx}=0$ in $(t,x)\in (0,T)\times (0,1)$, while the obstacle is represented by the Signorini's conditions $y(t,1)⩾\psi \left(t\right)$, $y_x(t,1)⩾0$, $y_x(t,1)(y(t,1)-\psi \left(t\right))=0$ in $(0,T)$. The characteristic method and a fixed point argument allow to reduce the problem to the analysis of the solutions at $x=1$. We prove that, for any $T>2$ and initial data $(y^0,y^1)\in H^1(0,1)\times L^2(0,1)$ with $\psi \left(0\right)⩽y^0\left(1\right)$, the system is null controllable with controls in $H^1(0,T)$. Two distinct approaches are used. We first introduce a penalized system in $y_{ϵ}$, transforming the Signorini's condition into the simpler one $y_{ϵ,x}(t,1)={ϵ}^{-1}{[y_{ϵ}(t,1)-\psi \left(t\right)]}^{-}$, ϵ being a small positive parameter. We construct explicitly a family of controls of the penalized problem, uniformly bounded with respect to ϵ in $H^1(0,T)$. This enables us to pass to the limit and to obtain a control for the initial equation. A more direct approach, based on differential inequalities theory, leads to a similar positive conclusion. Numerical experiments complete the study.

[1] P. Bénilan, M. Pierre, Inéquation diffé rentielles ordinaires avec obstacles irréguliers, Ann. Fac. Sci. Toulouse 1 (1979), 1-8 | EuDML | Numdam | MR

[2] J.-M. Coron, Control and Nonlinearity, Mathematical Surveys and Monographs vol. 136, American Mathematical Society, Providence, RI (2007) | MR

[3] Y. Dumont, L. Paoli, Vibrations of a beam between obstacles. Convergence of a fully discretized approximation, Mathematical Modelling and Numerical Analysis 40 (2006), 705-734 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] N. Kikuchi, J.T. Oden, Contact Problems in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods, Studies in Applied Mathematics vol. 8, SIAM, Philadelphia, PA (1988) | MR | Zbl

[5] J.U. Kim, A boundary thin obstacle problem for a wave equation, Commun. Partial Differential Equation 14 (1989), 1011-1026 | MR | Zbl

[6] G. Lebeau, M. Schatzman, A wave problem in a half space with a unilateral constraint at the boundary, J. Differential Equations 53 (1984), 309-361 | MR | Zbl

[7] J.-L. Lions, Controlabilité exacte, pertubations et stabilisation de systemes distribués, vol. 8, RMA, Masson, Paris (1988) | MR | Zbl

[8] J.E. Rivera, H.P. Oquendo, Exponential decay for a contact problem with local damping, Funkcialaj Ekvacioj 42 (1999), 371-387 | MR | Zbl

[9] D.L. Russell, Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions, SIAM Review 20 (1978), 639-739 | MR | Zbl

[10] M. Schatzman, An hyperbolic problem of second order with unilateral constraints: the vibrating string with a concave obstacle, J. Mathematical Analysis and Applications 73 (1980), 138-191 | MR | Zbl

[11] M. Schatzman, Un problème hyperbolique du 2ème ordre avec contrainte unilatérale: la corde vibrante avec obstacle ponctuel, J. Differential Equations 36 (1980), 295-334 | MR | Zbl

[12] M. Schatzman, M. Bercovier, Numerical approximation of a wave equation with unilateral constraints, Mathematics of Computations 53 (1989), 55-79 | MR | Zbl

[13] E. Zuazua, Exact controllability for the semilinear wave equation, J. Math. Pures Appl. 69 (1990), 1-31 | MR | Zbl