Herman's last geometric theorem

Fayad, Bassam; Krikorian, Raphaël

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 42 (2009) no. 2, pp. 193-219.

Nous présentons une preuve du dernier théorème géométrique d’Herman qui affirme que, si un difféomorphisme $F$ de l’anneau possède la propriété d’intersection, alors toute courbe $C^{\infty }$ $F$-invariante, sur laquelle le nombre de rotation de $F$ est diophantien, est accumulée par un ensemble de mesure positive de courbes invariantes $C^{\infty }$ sur lesquelles $F$ est $C^{\infty }$-conjuguée à une rotation. Ceci implique en particulier la stabilité des points fixes elliptiques diophantiens des difféomorphismes du plan qui préservent l’aire. Le caractère remarquable de ce théorème est qu’il ne requiert aucune condition de torsion.

We present a proof of Herman’s Last Geometric Theorem asserting that if $F$ is a smooth diffeomorphism of the annulus having the intersection property, then any given $F$-invariant smooth curve on which the rotation number of $F$ is Diophantine is accumulated by a positive measure set of smooth invariant curves on which $F$ is smoothly conjugated to rotation maps. This implies in particular that a Diophantine elliptic fixed point of an area preserving diffeomorphism of the plane is stable. The remarkable feature of this theorem is that it does not require any twist assumption.

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