Sur l'homologie des groupes orthogonaux et symplectiques à coefficients tordus

Djament, Aurélien; Vespa, Christine

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 3, pp. 395-459.

On calcule dans cet article l’homologie stable des groupes orthogonaux et symplectiques sur un corps fini $k$ à coefficients tordus par un endofoncteur usuel $F$ des $k$-espaces vectoriels (puissance extérieure, symétrique, divisée...). Par homologie stable, on entend, pour tout entier naturel $i$, les colimites des espaces vectoriels $H_i(O_{n,n}\left(k\right);F\left(k^{2n}\right))$ et $H_i({\mathrm{Sp}}_{2n}\left(k\right);F\left(k^{2n}\right))$ - dans cette situation, la stabilisation (avec une borne explicite en fonction de $i$ et $F$) est un résultat classique de Charney. Tout d’abord, nous donnons un cadre formel pour relier l’homologie stable de certaines suites de groupes à l’homologie de petites catégories convenables, à l’aide d’une suite spectrale, qui dégénère dans de nombreux cas favorables. Cela nous permet d’ailleurs de retrouver des résultats de Betley sur l’homologie stable des groupes linéaires et des groupes symétriques, par des méthodes purement algébriques (sans recours à la $K$-théorie stable). Pour une application exploitable de ce formalisme aux groupes orthogonaux ou symplectiques sur un corps fini, nous réinterprétons la deuxième page de notre suite spectrale en termes de foncteurs de Mackey non additifs et utilisons leurs propriétés d’acyclicité. Cela permet d’obtenir une simplification spectaculaire de la deuxième page de la suite spectrale en employant de puissants résultats d’annulation connus en homologie des foncteurs. Dans le cas où les groupes orthogonaux ou symplectiques sont pris sur un corps fini et les coefficients à valeurs dans les espaces vectoriels sur ce même corps, nous pouvons mener le calcul de cette deuxième page grâce à des résultats classiques : annulation homologique à coefficients triviaux (Quillen, Fiedorowicz-Priddy), et calcul des groupes de torsion entre foncteurs usuels (Franjou-Friedlander-Scorichenko-Suslin, Chałupnik). Ceci permet de nombreux calculs d’homologie stable à coefficients.

We compute the stable homology of orthogonal and symplectic groups, over a finite field $k$, when the coefficients module is twisted by a usual endofunctor $F$ of $k$-vector spaces (e.g. an exterior, a symmetric, or a divided power) - that is, for each natural integer $i$, we compute the colimit of the vector spaces $H_i(O_{n,n}\left(k\right);F\left(k^{2n}\right))$ and $H_i({\mathrm{Sp}}_{2n}\left(k\right);F\left(k^{2n}\right))$. Stabilization in this situation is a classical result of Charney. We first set a formal framework, within which the stable homology of some families of groups relates through a spectral sequence to the homology of suitable small categories. The spectral sequence collapses in many cases. We illustrate this purely algebraic method to retrieve results of Betley for the stable homology of the general linear groups and of the symmetric groups. We then apply our approach to orthogonal and symplectic groups over a finite field. To this end, we reinterpret the second page of our spectral sequence with Mackey functors and use their acyclicity properties. It allows us to simplify the second page of the spectral sequence, by using powerful cancellation results for functor homology. For the orthogonal as for the symplectic groups over a finite field, and for coefficients modules over the same field, we compute the second page of the spectral sequence. Classical results prove useful at this point: homological cancellation with trivial coefficients (Quillen, Fiedorowicz-Priddy), and calculation of the torsion groups between usual functors (Franjou-Friedlander-Scorichenko-Suslin, Chałupnik). This provides extensive computations of stable homology with coefficients.

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