Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs

Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs
[Grassmannian functors, Krull filtration and functor cohomology]

Djament, Aurélien

Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 111 (2007) , 248 p.

Résumé
Abstract

Let $ℱ$ be the category of functors between vector spaces over a finite field. The grassmannian functor categories are obtained by replacing the source of this category by the category of pairs formed by a vector space and an element of one of its grassmannians. These categories have a very rich algebraic structure ; we study in particular their finite objects and their homological properties. We give so a very general vanishing property in functor cohomology, which we apply to the stable $K$ -theory of finite fields : we obtain a generalization of the theorem of Betley-Suslin which expresses certain extension groups of $G L_{\infty}$ -modules in term of functor cohomology. Our second application of the grassmannian functor categories concerns the Krull filtration of the category $ℱ$ . We give a conjectural description of this filtration, of which we explore powerful implications. With the help of tools due to G. Powell, we show a weak form of this conjecture, in the case where the basis field has two elements. As a consequence, we establish the noetherian character of new functors.

Soit $ℱ$ la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini. Les catégories de foncteurs en grassmanniennes sont obtenues en remplaçant la source de cette catégorie par la catégorie des couples formés d’un espace vectoriel et d’un élément d’une de ses grassmanniennes. Ces catégories possèdent une très riche structure algébrique ; nous étudions notamment leurs objets finis et leurs propriétés homologiques. Nous établissons ainsi une propriété très générale d’annulation en cohomologie des foncteurs, que nous appliquons à la $K$ -théorie stable des corps finis : nous obtenons une généralisation du théorème de Betley-Suslin exprimant des groupes d’extensions entre $G L_{\infty}$ -modules en terme de cohomologie des foncteurs. Notre seconde application des catégories de foncteurs en grassmanniennes a trait à la filtration de Krull de la catégorie $ℱ$ . Nous en donnons une description conjecturale, dont nous examinons les conséquences, très puissantes, sur la structure de la catégorie $ℱ$ . À l’aide d’outils dus à G. Powell, nous démontrons une forme faible de cette conjecture, dans le cas où le corps de base a deux éléments. Nous utilisons ce résultat pour établir le caractère noethérien de nouveaux foncteurs.

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DOI : 10.24033/msmf.423

Classification : 16P60, 18A25, 18G15, 20C33, 16E20, 16P40, 18A40, 18C15, 18D15, 18E35, 18G05, 19D99, 55S10
Keywords: Catégories de foncteurs, algèbre homologique, filtration de Krull, groupes linéaires sur les corps finis, grassmanniennes, objets noethériens, $K$-théorie stable, représentations modulaires, foncteur différence et filtration polynomiale, (co)monades
Mot clés : Functors categories, homological algebra, Krull filtration, linear groups over finite fields, grassmannians, noetherian objects, stable $K$-theory, modular representations, difference functor and polynomial filtration, (co)monads

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Djament, Aurélien. Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 111 (2007), 248 p. doi : 10.24033/msmf.423. http://numdam.org/item/MSMF_2007_2_111__1_0/

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