Heights of varieties in multiprojective spaces and arithmetic Nullstellensätze  [ Hauteurs des variétés dans des espaces multiprojectifs et Nullstellensatz arithmétique ]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 4, p. 549-627
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Nous présentons des bornes pour les degrés et hauteurs des polynômes apparaissant dans certains problèmes de géométrie algébrique effective, dont l'implicitation d'applications rationnelles et le Nullstellensatz effectif sur une variété. Notre traitement est basé sur la théorie de l'intersection arithmétique dans un produit d'espaces projectifs. Il étend au cadre arithmétique des constructions et résultats dus à Jelonek. Un rôle central est joué par la notion de hauteur canonique mixte d'une variété multiprojective. Nous étudions cette notion à l'aide de la théorie des résultants et nous montrons quelques-unes de ses propriétés de base, y compris son comportement par rapport aux intersections, projections et produits. Nous obtenons aussi des résultats analogues dans le cas d'un corps de fonctions, dont un Nullstellensatz paramétrique.
We present bounds for the degree and the height of the polynomials arising in some problems in effective algebraic geometry including the implicitization of rational maps and the effective Nullstellensatz over a variety. Our treatment is based on arithmetic intersection theory in products of projective spaces and extends to the arithmetic setting constructions and results due to Jelonek. A key role is played by the notion of canonical mixed height of a multiprojective variety. We study this notion from the point of view of resultant theory and establish some of its basic properties, including its behavior with respect to intersections, projections and products. We obtain analogous results for the function field case, including a parametric Nullstellensatz.
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2196
Classification:  11G50,  14Q20,  13P15
Mots clés: espaces multiprojectifs, hauteurs mixtes, résultants, implicitation, nullstellensatz arithmétique
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D’Andrea, Carlos; Krick, Teresa; Sombra, Martín. Heights of varieties in multiprojective spaces and arithmetic Nullstellensätze. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 4, pp. 549-627. doi : 10.24033/asens.2196. http://www.numdam.org/item/ASENS_2013_4_46_4_549_0/

[1] M. Aschenbrenner, Ideal membership in polynomial rings over the integers, J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), 407-441. | MR 2051617

[2] C. A. Berenstein & A. Yger, Effective Bézout identities in [z 1 ,...,z n ], Acta Math. 166 (1991), 69-120. | MR 1088983

[3] Y. F. Bilu & M. Strambi, Quantitative Riemann existence theorem over a number field, Acta Arith. 145 (2010), 319-339. | MR 2738151

[4] E. Bombieri, J. Bourgain & S. V. Konyagin, Roots of polynomials in subgroups of 𝔽 p * and applications to congruences, Int. Math. Res. Not. 2009 (2009), 802-834. | MR 2482126

[5] W. D. Brownawell, Bounds for the degrees in the Nullstellensatz, Ann. of Math. 126 (1987), 577-591. | MR 916719

[6] W. D. Brownawell, The Hilbert Nullstellensatz, inequalities for polynomials, and algebraic independence, in Introduction to algebraic independence theory, Lecture Notes in Math. 1752, Springer, 2001, 239-248. | MR 1837838

[7] J. I. Burgos Gil, P. Philippon & M. Sombra, Arithmetic geometry of toric varieties. Metrics, measures and heights, preprint arXiv:1105.5584.

[8] W.-L. Chow & B. L. Van Der Waerden, Zur algebraischen Geometrie. IX, Math. Ann. 113 (1937), 692-704. | MR 1513117

[9] X. Dahan, A. Kadri & É. Schost, Bit-size estimates for triangular sets in positive dimension, J. Complexity 28 (2012), 109-135. | MR 2871788

[10] S. David & P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 28 (1999), 489-543. | Numdam | MR 1736526

[11] W. Fulton, Intersection theory, Ergebn. Math. Grenzg. 2, Springer, 1984. | MR 732620

[12] I. M. GelʼFand, M. M. Kapranov & A. V. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, 1994.

[13] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer, 1977. | MR 463157

[14] Z. Jelonek, On the effective Nullstellensatz, Invent. Math. 162 (2005), 1-17. | MR 2198324

[15] J.-P. Jouanolou, Théorèmes de Bertini et applications, Progress in Math. 42, Birkhäuser, 1983. | MR 725671

[16] P. Koiran, Hilbert's Nullstellensatz is in the polynomial hierarchy, J. Complexity 12 (1996), 273-286. | MR 1422712

[17] A. Kresch & Y. Tschinkel, Effectivity of Brauer-Manin obstructions, Adv. Math. 218 (2008), 1-27. | MR 2409407

[18] T. Krick & L. M. Pardo, A computational method for Diophantine approximation, in Algorithms in algebraic geometry and applications (Santander, 1994), Progr. Math. 143, Birkhäuser, 1996, 193-253. | MR 1414452

[19] T. Krick, L. M. Pardo & M. Sombra, Sharp estimates for the arithmetic Nullstellensatz, Duke Math. J. 109 (2001), 521-598. | MR 1853355

[20] S. Lang, Fundamentals of Diophantine geometry, Springer, 1983. | MR 715605

[21] S. Lang, Algebra, third éd., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1993. | MR 783636

[22] P. Lelong, Mesure de Mahler et calcul de constantes universelles pour les polynômes de n variables, Math. Ann. 299 (1994), 673-695. | MR 1286891

[23] F. S. Macaulay, Some formulae in elimination, Proc. London Math. Soc. 1 (1902), 3-27. | MR 1577000

[24] V. Maillot, Géométrie d'Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables, Mém. Soc. Math. France 80, 2000.

[25] P. Pedersen & B. Sturmfels, Product formulas for resultants and Chow forms, Math. Z. 214 (1993), 377-396. | MR 1245200

[26] O. Perron, Algebra. I. Die Grundlagen, Walter de Gruyter & Co., 1951. | MR 38319

[27] P. Philippon, Critères pour l'indépendance algébrique, Publ. Math. I.H.É.S. 64 (1986), 5-52. | MR 876159

[28] P. Philippon, Dénominateurs dans le théorème des zéros de Hilbert, Acta Arith. 58 (1991), 1-25. | MR 1111087

[29] P. Philippon, Sur des hauteurs alternatives. I, Math. Ann. 289 (1991), 255-283. | MR 1092175

[30] P. Philippon, Sur des hauteurs alternatives. III, J. Math. Pures Appl. 74 (1995), 345-365. | MR 1341770

[31] P. Philippon & M. Sombra, Hauteur normalisée des variétés toriques projectives, J. Inst. Math. Jussieu 7 (2008), 327-373. | MR 2400725

[32] G. Rémond, Élimination multihomogène, in Introduction to algebraic independence theory, Lecture Notes in Math. 1752, Springer, 2001, 53-81.

[33] G. Rémond, Géométrie diophantienne multiprojective, in Introduction to algebraic independence theory, Lecture Notes in Math. 1752, Springer, 2001, 95-131.

[34] G. Rémond, Nombre de points rationnels des courbes, Proc. Lond. Math. Soc. 101 (2010), 759-794. | MR 2734960

[35] F. Smietanski, A parametrized Nullstellensatz, in Computational algebraic geometry (Nice, 1992), Progr. Math. 109, Birkhäuser, 1993, 287-300. | MR 1230873

[36] C. J. Smyth, A Kronecker-type theorem for complex polynomials in several variables, Canad. Math. Bull. 24 (1981), 447-452. | MR 644534

[37] M. Sombra, The height of the mixed sparse resultant, Amer. J. Math. 126 (2004), 1253-1260. | MR 2102395

[38] B. Teissier, Résultats récents d'algèbre commutative effective, Séminaire Bourbaki, vol. 1989/90, exposé no 718, Astérisque 189-190 (1990), 107-131. | Numdam | MR 1099873