Ensembles et cônes minimaux de dimension 2 dans les espaces euclidiens
Thèses d'Orsay, no. 808 (2010) , 201 p.

In the thesis we discuss the theory of minimal sets.

In the first part we study 2 -dimensional Almgren minimal cones in 4 , which is the first useful and necessary step to study Almgren minimal sets. We establish the Almgren minimality of the union of a pair of almost orthogonal planes in 4 . The method is also generalized to prove the minimality of the almost orthogonal union of several planes or hyperplanes, as well as the almost orthogonal union of a plane and a Y in 5 .

In the second part we introduce a definition of topological minimal sets, which is a generalization of that of Mumford-Shah-minimal sets. We prove some properties of topological minimal sets, and make a first step towards a characterisation of topological minimal sets. We restrict also the potential class of those Almgren minimal sets in 3 which are not cones.

On s’intéresse dans cette thèse aux ensembles minimaux.

Dans la première partie on étudie les cônes minimaux au sens d’Almgren de dimension 2 dans 4 , ce qui est une première étape obligée et utile dans l’étude des ensembles minimaux. La minimalité au sens d'Almgren de l'union de deux plans presque orthogonaux est établie. La méthode est généralisée pour montrer que l'union presque orthogonale de plusieurs plans ou hyperplans, et l'union presque orthogonale d'un plan et un Y sont minimales.

Dans la seconde partie on introduit une définition de minimiseur topologique, qui généralise celle de minimiseur de Mumford-Shah. On montrera des propriétés des minimiseurs topologiques, et fera un premier pas dans la direction d'une caractérisation des minimiseurs topologiques. On restreindra aussi la classe potentielle des Almgren-minimiseurs de 3 qui ne seraient pas des cônes.

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Liang, Xiangyu. Ensembles et cônes minimaux de dimension $2$ dans les espaces euclidiens. Thèses d'Orsay, no. 808 (2010), 201 p. http://numdam.org/item/BJHTUP11_2010__0808__P0_0/

Table of contents

0 Introduction générale p. 5
I Minimalité d'une union de deux plans p. 12
1 Introduction de la première partiep. 14
2 Discussions sur le cas orthogonal et des cas presque orthogonauxp. 23
2.1 Estimation des projections sur l'union de 2 plans transverses pour tout 2 -vecteur simplep. 24
2.2 Comparaison de la mesure d'un ensemble rectifiable avec la somme de celles de ses projections sur deux plansp. 29
3 Unicité de P 0 p. 31
4 L'existence d'ensembles minimauxp. 43
5 Rayons critiquesp. 57
6 Propriétés de projection et régularité de E k p. 61
7 Argument d'extension harmoniquep. 75
8 Conclusionp. 82
9 Généralisation aux dimensions plus hautesp. 89
9.1 Estimations algébriques pour la somme des projecteurs de deux hyperplans (parallèle au paragraphe 2)p. 89
9.2 Unicité de P 0 p. 92
9.3 L'argument de l'extension harmonique par les harmoniques sphériquesp. 98
10 Généralisation au cas de plusieurs plans et hyperplansp. 104
11 L'union presque orthogonale d'un plan et un 𝕐 dans 5 p. 111
11.1 Discussions généralesp. 111
11.2 L’unicité de Z 0 p. 113
11.3 Remarques sur d'autres préparatifsp. 124
11.4 Conclusionp. 129
12 Produit et calibrationp. 133
II Minimiseurs topologiques p. 140
13 Introduction de la deuxième partiep. 141
14 Minimiseurs Al dans 3 p. 143
15 Contrôler la topologie par mesurep. 152
16 Préliminaires sur la topologiep. 160
16.1 Topologie algébriquep. 160
16.2 Transversalitép. 164
17 L'image réciproque d'une chaîne lisse par une application transversep. 166
18 Minimiseur topologiquep. 170
19 Une discussion sur T p. 177

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