Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds III  [ À propos d’une théorie de Mori sur les variétés compactes kählériennes de dimension 3, III ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, p. 339-356
Utilisant les résultats de la première et de la deuxième partie de ce travail, nous considérons des variétiés kählériennes minimales X de dimension 3, i.e. dont le fibré canonique K X est nef. Alors K X est un fibré « good », i.e. dont la dimension de Kodaira est égale à la dimension de Kodaira numérique, sous l’exception possible que X est simple, (i.e. il n’existe pas une sous-variété compacte contenant un points très general) et X non Kummer. Le deuxième théorème dit que les variétés kählériennes X de dimension 3 avec des singularités terminales de sorte que K X n’est pas nef, ont des contractions de Mori.
Based on the results of the first two parts to this paper, we prove that the canonical bundle of a minimal Kähler threefold (i.e. K X is nef) is good, i.e. its Kodaira dimension equals the numerical Kodaira dimension, (in particular some multiple of K X is generated by global sections); unless X is simple. “Simple“ means that there is no compact subvariety through the very general point of X and X not Kummer. Moreover we show that a compact Kähler threefold with only terminal singularities whose canonical bundle is not nef, admits a contraction unless X is simple with Kodaira dimension -.
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2400
Classification:  32J17,  32Q15
Mots clés: variétiés kählériennes, abondance, courbes rationnelles, dimension de Kodaira
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Peternell, Thomas. Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds III. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 339-356. doi : 10.24033/bsmf.2400. https://www.numdam.org/item/BSMF_2001__129_3_339_0/

[1] F. Campana & T. Peternell - « Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds, I », Math. Nachr. 187 (1997), p. 29-59. | MR 1471137 | Zbl 0889.32027

[2] -, « Complex threefolds with non-trivial holomorphic 2-forms », J. Alg. Geom. 9 (2000), p. 223-264. | MR 1735771 | Zbl 0994.32016

[3] J.-P. Demailly - « Frobenius integrability of certain holomorphic p-forms », Preprint, 2000, to appear in a volume in honour of H. Grauert. | MR 1922099

[4] J.-P. Demailly, T. Peternell & M. Schneider - « Compact complex manifolds with numerically effective tangent bundles », J. Alg. Geom. 3 (1994), p. 295-345. | MR 1257325 | Zbl 0827.14027

[5] -, « Compact Kähler manifolds with hermitian semipositive anticanonical bundle », Comp. Math. 101 (1996), p. 217-224. | Numdam | MR 1389367

[6] A. Fujiki - « On the structure of compact complex manifolds in class 𝒞 », Adv. Stud. Pure Math., vol. 1, 1983, p. 231-302. | MR 715653 | Zbl 0513.32027

[7] T. Fujita - « Kähler fiber spaces over curves », J. Math. Soc. Japan 30 (1978), p. 779-794. | MR 513085 | Zbl 0393.14006

[8] M. Hanamura - « On the birational automorphism groups of algebraic varieties », Comp. Math. 63 (1987), p. 123-142. | Numdam | MR 906382 | Zbl 0655.14007

[9] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001

[10] Y. Kawamata - « Characterisation of abelian varieties », Comp. Math. 43 (1981), p. 253-276. | Numdam | MR 622451 | Zbl 0471.14022

[11] -, « Pluricanonical systems on minimal algebraic varieties », Inv. Math. 79 (1985), p. 567-588. | MR 782236 | Zbl 0593.14010

[12] -, « Crepant blowing ups of threedimensional canonical singularities and applications to degenerations of surfaces », Ann. Math. 119 (1988), p. 603-633. | Zbl 0651.14005

[13] -, « Abundance theorem for minimal threefolds », Inv. Math. 108 (1992), p. 229-246. | MR 1161091 | Zbl 0777.14011

[14] Y. Kawamata & E. Viehweg - « On a characterisation of an abelian variety in the classification theory of algebraic varieties », Comp. Math. 41 (1980), p. 355-359. | Numdam | MR 589087 | Zbl 0417.14033

[15] S. Kebekus, T. Peternell, A. Sommese & J. Wisniewski - « Projective contact manifolds », Inv. Math. 142 (2000), p. 1-15. | MR 1784795 | Zbl 0994.53024

[16] J. Kollár - « Flops », Nagoya Math. J. 113 (1989), p. 15-36. | MR 986434 | Zbl 0645.14004

[17] -, Rational curves on algebraic varieties, Erg. d. Math., vol. 32, Springer, 1996. | MR 1440180

[18] C. Lebrun - « Fano manifolds, contact structures and quaternionic geometry », Int. J. Math. 6 (1995), p. 419-437. | MR 1327157 | Zbl 0835.53055

[19] Y. Miyaoka - « Abundance conjecture for threefolds: ν=1 case », Comp. Math. 68 (1988), p. 203-220. | Numdam | MR 966580 | Zbl 0681.14019

[20] S. Mori - « Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective », Ann. Math. 116 (1982), p. 133-176. | MR 662120 | Zbl 0557.14021

[21] -, « Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds », J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), p. 117-253. | MR 924704 | Zbl 0649.14023

[22] N. Nakayama - « The lower semi-continuity of the plurigenera of complex varieties », Adv. Stud. Pure Math., vol. 10, 1987, p. 551-590. | MR 946250 | Zbl 0649.14003

[23] T. Peternell - « Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds, II », Math. Ann. 311 (1998), p. 729-764. | MR 1637984 | Zbl 0919.32016

[24] M. Reid - « Canonical threefolds », Géométrie algébrique, Angers, vol. 1, Sijthoff and Noordhoff, p. 273-310. | MR 605348 | Zbl 0451.14014

[25] -, « Minimal models of threefolds », Adv. Stud. Pure Math., vol. 1, 1983, p. 131-180.

[26] -, « Singular del Pezzo surfaces », Publ. RIMS 30 (1994), p. 695-728.

[27] K. Ueno - « On compact analytic threefolds with non-trivial Albanese torus », Math. Ann. 278 (1987), p. 41-70. | MR 909217 | Zbl 0628.32037

[28] E. Viehweg - « Klassifikationstheorie algebraischer Varietäten der Dimension 3 », Comp. Math. 41 (1980), p. 361-400. | Numdam | MR 589088 | Zbl 0414.14017

[29] Y. Ye - « A note on complex projective threefolds admitting holomorphic contact structures », Inv. Math. 115 (1994), p. 311-314. | MR 1258907 | Zbl 0801.14014