Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour $\mathrm{GL}\left(n\right)$

Henniart, Guy

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 587-602.

Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien et $\psi$ un caractère non trivial du groupe additif de $F$. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier $n\ge 1$, une bijection $\sigma \mapsto {\pi }_n\left(\sigma \right)$ de l'ensemble ${𝒢}_F\left(n\right)$ des classes d'isomorphisme de représentations de dimension $n$ du groupe de Weil-Deligne de $F$ sur l'ensemble ${𝒜}_F\left(n\right)$ des classes d'isomorphisme de représentations lisses irréductibles de ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$. La bijection ${\pi }_1$ est donnée par la théorie locale du corps de classes, et pour $\sigma \in {𝒢}_F\left(n\right)$, ${\sigma }^{\text{'}}\in {𝒢}_F\left(n^{\text{'}}\right)$, on a $L(s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}})=L(s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right))$, $\epsilon (s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}},\psi )=\epsilon (s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right),\psi ).$ Nous prouvons que ces propriétés caractérisent la famille d'applications $\left({\pi }_n\right)$.

Let $F$ be a locally compact non-Archimedean field and $\psi$ a non-trivial additive character of $F$. The local Langlands correspondence gives for each positive integer $n$ a one-to-one map $\sigma \mapsto {\pi }_n\left(\sigma \right)$ from the set ${𝒢}_F\left(n\right)$ of isomorphism classes of degree $n$ representations of the Weil-Deligne group of $F$ onto the set ${𝒜}_F\left(n\right)$ of isomorphism classes of smooth irreducible representations of ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$. Class-field theory gives the map ${\pi }_1$ and for $\sigma \in {𝒢}_F\left(n\right)$, ${\sigma }^{\text{'}}\in {𝒢}_F\left(n^{\text{'}}\right)$, we have $L(s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}})=L(s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right))$, $\epsilon (s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}},\psi )=\epsilon (s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right),\psi ).$ We prove that such properties characterize the family of maps $\left({\pi }_n\right)$.

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