Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour $\mathrm{GL}\left(n\right)$

Henniart, Guy

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 587-602.

Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien et $\psi$ un caractère non trivial du groupe additif de $F$. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier $n\ge 1$, une bijection $\sigma \mapsto {\pi }_n\left(\sigma \right)$ de l'ensemble ${𝒢}_F\left(n\right)$ des classes d'isomorphisme de représentations de dimension $n$ du groupe de Weil-Deligne de $F$ sur l'ensemble ${𝒜}_F\left(n\right)$ des classes d'isomorphisme de représentations lisses irréductibles de ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$. La bijection ${\pi }_1$ est donnée par la théorie locale du corps de classes, et pour $\sigma \in {𝒢}_F\left(n\right)$, ${\sigma }^{\text{'}}\in {𝒢}_F\left(n^{\text{'}}\right)$, on a $L(s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}})=L(s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right))$, $\epsilon (s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}},\psi )=\epsilon (s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right),\psi ).$ Nous prouvons que ces propriétés caractérisent la famille d'applications $\left({\pi }_n\right)$.

Let $F$ be a locally compact non-Archimedean field and $\psi$ a non-trivial additive character of $F$. The local Langlands correspondence gives for each positive integer $n$ a one-to-one map $\sigma \mapsto {\pi }_n\left(\sigma \right)$ from the set ${𝒢}_F\left(n\right)$ of isomorphism classes of degree $n$ representations of the Weil-Deligne group of $F$ onto the set ${𝒜}_F\left(n\right)$ of isomorphism classes of smooth irreducible representations of ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$. Class-field theory gives the map ${\pi }_1$ and for $\sigma \in {𝒢}_F\left(n\right)$, ${\sigma }^{\text{'}}\in {𝒢}_F\left(n^{\text{'}}\right)$, we have $L(s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}})=L(s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right))$, $\epsilon (s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}},\psi )=\epsilon (s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right),\psi ).$ We prove that such properties characterize the family of maps $\left({\pi }_n\right)$.

Classification : 22E50
Mot clés : corps local, correspondance de Langlands, fonction $L$, facteur $\varepsilon $
Keywords: local field, Langlands correspondence, $L$-function, $\varepsilon $-factor

[1] W. Casselman - « ${\mathrm{GL}}_n$ », Algebraic Number Fields (A. Fröhlich, éd.), Academic Press, 1977, p. 663-704. | MR | Zbl

[2] M. Harris & R. Taylor - On the geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Math. Studies, vol. 151, Princeton University Press, 2001. | MR | Zbl

[3] G. Henniart - « Caractérisation de la correspondance de Langlands par les facteurs $\epsilon$ de paires », Invent. Math. 113 (1993), p. 339-350. | MR | Zbl

[4] -, « Une preuve simple des conjectures de Langlands pour ${\mathrm{GL}}_n$ sur un corps $p$-adique », Invent. Math. 139 (2000), p. 439-456. | MR | Zbl

[5] -, « Sur la conjecture de Langlands locale pour ${\mathrm{GL}}_n$ », Journées arithmétiques de Rome 1999, Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 13, 2001, p. 167-188. | Numdam | MR

[6] H. Jacquet, I. Piatetski-Schapiro & J. Shalika - « Rankin-Selberg convolutions », Amer. J. Math. 105 (1983), p. 367-483. | MR | Zbl

[7] G. Laumon, M. Rapoport & U. Stuhler - « $𝒟$-elliptic sheaves and the Langlands correspondence », Invent. Math. 113 (1999), p. 217-338. | MR | Zbl

[8] F. Shahidi - « On certain $L$-functions », Amer. J. Math. 103 (1981), p. 297-355. | MR | Zbl

[9] -, « Fourier transforms of intertwining operators and Plancherel measures for ${\mathrm{GL}}_n$ », Amer. J. Math. 106 (1984), p. 67-111. | MR | Zbl

[10] J. Tate - « Number theoretic background » 1979, p. 3-26. | MR | Zbl

[11] A. Zelevinsky - « Induced representations of reductive $p$-adic groups II. On irreducible representations of ${\mathrm{GL}}_n$ », Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. 13 (1980), p. 165-210. | EuDML | Numdam | MR | Zbl