Equidistribution towards the Green current

Guedj, Vincent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 3, pp. 359-372.

Soit $f:{\mathbb{P}}^k\to {\mathbb{P}}^k$ une application rationnelle dominante de premier degré algébrique $\lambda \ge 2$. Lorsque $S$ est un courant positif fermé de bidegré $(1,1)$ sur ${\mathbb{P}}^k$ dont les nombres de Lelong sont tous nuls, nous montrons, sous une hypothèse dynamique naturelle, que les pull-backs ${\lambda }^{-n}{\left(f^n\right)}^{*}S$ convergent vers le courant de Green $T_f$. Pour certaines familles d’applications, des résultats de convergence raffinés nous permettent de caractériser tous les courants $f^{*}$-invariants.

Let $f:{\mathbb{P}}^k\to {\mathbb{P}}^k$ be a dominating rational mapping of first algebraic degree $\lambda \ge 2$. If $S$ is a positive closed current of bidegree $(1,1)$ on ${\mathbb{P}}^k$ with zero Lelong numbers, we show - under a natural dynamical assumption - that the pullbacks ${\lambda }^{-n}{\left(f^n\right)}^{*}S$ converge to the Green current $T_f$. For some families of mappings, we get finer convergence results which allow us to characterize all $f^{*}$-invariant currents.

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