Irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems

Roucairol, Céline

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 2, pp. 269-286.

Dans la théorie des $𝒟$-modules, on définit les systèmes de Gauss-Manin par l’image directe par un morphisme du faisceau structural $𝒪$. Un résultat essentiel est leur régularité. On s’intéresse à l’irrégularité d’un analogue des systèmes de Gauss-Manin. Il s’agit de l’image directe $f_{+}\left(𝒪{\mathrm{e}}^g\right)$ par un polyôme $f$ d’un $𝒟$-module tordu par une exponentielle d’un second polynôme $g$, où $f$ et $g$ sont des polynômes à deux variables. Les analogues des systèmes de Gauss-Manin peuvent avoir des singularités irrégulières. On exprimera alors un invariant attaché à l’irrégularité en $c\in {\mathbb{P}}^1$ de ces systèmes à l’aide de la géométrie de l’application $(f,g)$.

In $𝒟$-modules theory, Gauss-Manin systems are defined by the direct image of the structure sheaf $𝒪$ by a morphism. A major theorem says that these systems have only regular singularities. This paper examines the irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems. It consists in the direct image complex $f_{+}\left(𝒪{\mathrm{e}}^g\right)$ of a $𝒟$-module twisted by the exponential of a polynomial $g$ by another polynomial $f$, where $f$ and $g$ are two polynomials in two variables. The analogue of the Gauss-Manin systems can have irregular singularities (at finite distance and at infinity). We express an invariant associated with the irregularity of these systems at $c\in {\mathbb{P}}^1$ by the geometry of the map $(f,g)$.

Classification : 32S40, 32C38
Keywords: Gauss-Manin connection, irregularity complex, direct image, elementary $\mathcal {D}$-modules
Mot clés : connexion de Gauss-Manin, complexe d’irrégularité, image directe, $\mathcal {D}$-modules élémentaires

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