Batalin-Vilkovisky algebra structures on Hochschild cohomology

Menichi, Luc

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 2, pp. 277-295.

Soit $M$ une variété lisse orientée compact simplement connexe de dimension $d$. Soit $𝔽$ un corps commutatif quelconque. Nous montrons que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild des cochaînes singulières de $M$, $H{H}^{*}(S^{*}\left(M\right),S^{*}\left(M\right))$, s’étend en une algèbre de Batalin-Vilkovisky. L’existence d’une telle algèbre de Batalin-Vilkovisky était conjecturée. Il est prévu qu’une telle algèbre soit isomorphe à l’algèbre de Batalin-Vilkovisky sur l’homologie des lacets libres sur $M$, $H_{*+d}\left(LM\right)$, introduite par Chas and Sullivan. Nous montrons aussi que la cohomologie cyclique négative $H{C}_{-}^{*}\left(S^{*}\left(M\right)\right)$ possède un crochet de Lie. Ce crochet de Lie devrait coincider avec le crochet des cordes de Chas et Sullivan sur l’homologie équivariante $H_{*}^{S^1}\left(LM\right)$.

Let $M$ be any compact simply-connected oriented $d$-dimensional smooth manifold and let $𝔽$ be any field. We show that the Gerstenhaber algebra structure on the Hochschild cohomology on the singular cochains of $M$, $H{H}^{*}(S^{*}\left(M\right),S^{*}\left(M\right))$, extends to a Batalin-Vilkovisky algebra. Such Batalin-Vilkovisky algebra was conjectured to exist and is expected to be isomorphic to the Batalin-Vilkovisky algebra on the free loop space homology on $M$, $H_{*+d}\left(LM\right)$ introduced by Chas and Sullivan. We also show that the negative cyclic cohomology $H{C}_{-}^{*}\left(S^{*}\left(M\right)\right)$ has a Lie bracket. Such Lie bracket is expected to coincide with the Chas-Sullivan string bracket on the equivariant homology $H_{*}^{S^1}\left(LM\right)$.

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