Thirion, Xavier
Propriétés de mélange du flot des chambres de Weyl des groupes de Ping-Pong
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 3 , p. 387-421
Zbl 1183.22005 | MR 2574089 | 1 citation dans Numdam
doi : 10.24033/bsmf.2579
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=BSMF_2009__137_3_387_0

Classification:  22E40,  53C35
Mots clés: groupes de Lie, sous-groupes discrets, géométrie en rang supérieur
Dans cet article, nous étudions le flot des chambres de Weyl d’une large classe de sous-groupe discrets d’un groupe de Lie semi-simple réel : les groupes de Ping-Pong. Nous montrons que ce flot est mélangeant relativement à la mesure de Patterson-Sullivan ; celle-ci étant infinie en rang 2, nous précisons cette propriété de mélange en explicitant sa vitesse dans le direction du vecteur de croissance du groupe.
In this paper, we study the Weyl’s chamber flow associated with a large class of discrete subgroups of a semi-simple real Lie group : the Ping-Pong groups. We prove that this flow is mixing with respect to the Patterson-Sullivan measure ; this measure being infinite in rank 2, we precise this mixing property with a precise speed of convergence in the direction of the growth vector of the group.

Bibliographie

[1] P. Albuquerque - « Uniqueness of conformal densities and the semiflow of Weyl chambers », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 326 (1998), p. 1105-1110. MR 1647150 | Zbl 0912.53035

[2] M. Babillot - « Théorie du renouvellement pour des chaînes semi-markoviennes transientes », Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 24 (1988), p. 507-569. Numdam | MR 978023 | Zbl 0681.60095

[3] M. Babillot & F. Ledrappier - « Lalley's theorem on periodic orbits of hyperbolic flows », Ergodic Theory Dynam. Systems 18 (1998), p. 17-39. MR 1609507 | Zbl 0915.58074

[4] M. Babillot & M. Peigné - « Homologie des géodésiques fermées sur des variétés hyperboliques avec bouts cuspidaux », Ann. Sci. École Norm. Sup. 33 (2000), p. 81-120. Numdam | MR 1743720 | Zbl 0984.37033

[5] Y. Benoist - « Propriétés asymptotiques des groupes linéaires », Geom. Funct. Anal. 7 (1997), p. 1-47. MR 1437472 | Zbl 0947.22003

[6] -, « Propriétés asymptotiques des groupes linéaires. II », in Analysis on homogeneous spaces and representation theory of Lie groups, Okayama-Kyoto (1997), Adv. Stud. Pure Math., vol. 26, Math. Soc. Japan, 2000, p. 33-48. Zbl 0960.22012

[7] F. Dal'Bo & M. Peigné - « Groupes du ping-pong et géodésiques fermées en courbure -1 », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 46 (1996), p. 755-799. Numdam | MR 1411728 | Zbl 0853.53032

[8] -, « Some negatively curved manifolds with cusps, mixing and counting », J. reine angew. Math. 497 (1998), p. 141-169. MR 1617430 | Zbl 0890.53043

[9] Y. Guivarc'H - « Produits de matrices aléatoires et applications aux propriétés géométriques des sous-groupes du groupe linéaire », Ergodic Theory Dynam. Systems 10 (1990), p. 483-512. MR 1074315 | Zbl 0715.60008

[10] Y. Guivarc'H & J. Hardy - « Théorèmes limites pour une classe de chaînes de Markov et applications aux difféomorphismes d'Anosov », Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 24 (1988), p. 73-98. | Numdam | MR 937957 | Zbl 0649.60041

[11] J.-F. Quint - « Divergence exponentielle des sous-groupes discrets en rang supérieur », Comment. Math. Helv. 77 (2002), p. 563-608. MR 1933790 | Zbl 1010.22018

[12] -, « Mesures de Patterson-Sullivan en rang supérieur », Geom. Funct. Anal. 12 (2002), p. 776-809. MR 1935549 | Zbl 1169.22300

[13] -, « Groupes de Schottky et comptage », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (2005), p. 373-429. | Numdam | MR 2147895 | Zbl 1087.22010

[14] T. Roblin - « Ergodicité et équidistribution en courbure négative », Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 95 (2003). MR 2057305 | Numdam | Zbl 1056.37034

[15] X. Thirion - « Mesures de Patterson des groupes de Ping-Pong » (soumis).