$𝒟$-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse

Caro, Daniel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 4, pp. 453-543.

Soient $𝒱$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, $𝒫$ un $𝒱$-schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T_X=T\cap X$ soit un diviseur de $X$ et ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur $𝒫$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $\mathbb{Q}$. Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$, de la catégorie des isocristaux sur $X\setminus T_X$ surconvergents le long de $T_X$ dans celle des ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents à support dans $X$. Puis, nous prouvons la commutation de ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$ aux images inverses (extraordinaires) et aux foncteurs duaux. Ces propriétés sont compatibles à Frobenius.

Let $𝒱$ be a mixed characteristic complete discrete valuation ring, $𝒫$ a separated smooth formal scheme over $𝒱$, $P$ its special fiber, $X$ a smooth closed subscheme of $P$, $T$ a divisor in $P$ such that $T_X=T\cap X$ is a divisor in $X$ and ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$ the tensorized with $\mathbb{Q}$ weak completion of the sheaf of differential operators on $𝒫$ with overconvergent singularities along $T$. We construct a fully faithful functor denoted by ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$ from the category of isocrystal on $X\setminus T_X$ overconvergent along $T_X$ into the category of coherent ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$-modules with support in $X$. Next, we prove the commutation of ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$ with (extraordinary) inverse images and dual functors. These properties are compatible with Frobenius.

Classification : 14F10, 14F30
Mot clés : $\mathcal {D} $-modules arithmétiques, Frobenius, foncteur dual, image directe
Keywords: arithmetical $\mathcal {D} $-modules, Frobenius, dual functor, direct image

[1] P. Berthelot - « Cohomologie rigide et théorie des $𝒟$-modules », in $p$-adic analysis (Trento, 1989), Lecture Notes in Math., vol. 1454, Springer, 1990, p. 80-124. | MR | Zbl

[2] -, « Cohérence différentielle des algèbres de fonctions surconvergentes », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 323 (1996), p. 35-40. | Zbl

[3] -, « Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre. Première partie », prépublication IRMAR 96-03, 1996.

[4] -, « $𝒟$-modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini », Ann. Sci. École Norm. Sup. 29 (1996), p. 185-272. | Numdam | MR | Zbl

[5] -, « $𝒟$-modules arithmétiques. II. Descente par Frobenius », Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 81 (2000). | Numdam | Zbl

[6] -, « Introduction à la théorie arithmétique des $𝒟$-modules », Astérisque 279 (2002), p. 1-80. | Numdam | Zbl

[7] A. Borel, P.-P. Grivel, B. Kaup, A. Haefliger, B. Malgrange & F. Ehlers - Algebraic $D$-modules, Perspectives in Mathematics, vol. 2, Academic Press Inc., 1987. | MR | Zbl

[8] D. Caro - « Cohérence différentielle des $F$-isocristaux unités », C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), p. 145-150. | MR | Zbl

[9] -, « $𝒟$ modules arithmétiques surcohérents. Application aux fonctions $L$ », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54 (2004), p. 1943-1996. | Numdam | MR | Zbl

[10] -, « Comparaison des foncteurs duaux des isocristaux surconvergents », Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 114 (2005), p. 131-211. | Numdam | MR | Zbl

[11] -, « Dévissages des $F$-complexes de $𝒟$-modules arithmétiques en $F$-isocristaux surconvergents », Invent. Math. 166 (2006), p. 397-456. | MR | Zbl

[12] -, « Fonctions $L$ associées aux $𝒟$-modules arithmétiques. Cas des courbes », Compos. Math. 142 (2006), p. 169-206. | MR | Zbl

[13] -, « $F$-isocristaux surconvergents et surcohérence différentielle », Invent. Math. 170 (2007), p. 507-539. | MR | Zbl

[14] -, « Log-isocristaux surconvergents et holonomie », à paraître dans Compos. Math, 2009. | MR

[15] -, « $𝒟$-modules arithmétiques surholonomes », Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 42 (2009), p. 141-192. | Numdam | MR | Zbl

[16] -, « Sur la compatibilité à Frobenius de l'isomorphisme de dualité relative », à paraître dans Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 2009. | Numdam | MR

[17] D. Caro & N. Tzuzuki - « Overholonomicity of overconvergent $F$-isocrystals over smooth varieties », prépublication arXiv :0803.2105, 2008. | Zbl

[18] R. Elkik - « Solutions d'équations à coefficients dans un anneau hensélien », Ann. Sci. École Norm. Sup. 6 (1973), p. 553-603. | Numdam | MR | Zbl

[19] A. Grothendieck - « Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas », Publ. Math. I.H.É.S. 4 (1960). | Zbl

[20] R. Hartshorne - Residues and duality, Lecture Notes in Math., vol. 20, Springer, 1966. | MR | Zbl

[21] C. Huyghe - « $𝒟\mathrm{sp}†\left(\infty \right)$-affinité des schémas projectifs », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 48 (1998), p. 913-956. | Numdam | MR | Zbl

[22] A. J. De Jong - « Smoothness, semi-stability and alterations », Publ. Math. I.H.É.S. 83 (1996), p. 51-93. | Numdam | MR | Zbl

[23] K. S. Kedlaya - « Full faithfulness for overconvergent $F$-isocrystals », in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, p. 819-835. | MR | Zbl

[24] -, « Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals. I. Unipotence and logarithmic extensions », Compos. Math. 143 (2007), p. 1164-1212. | MR | Zbl

[25] -, « Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals. II. A valuation-theoretic approach », Compos. Math. 144 (2008), p. 657-672. | MR | Zbl

[26] -, « Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals. III. Local semistable reduction at monomial valuations », Compos. Math. 145 (2009), p. 143-172. | MR | Zbl

[27] -, « Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals, IV : Local semistable reduction at nonmonomial valuations », prépublication arXiv :0712.3400. | Zbl

[28] B. Le Stum - Rigid cohomology, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 172, Cambridge Univ. Press, 2007. | MR | Zbl

[29] C. Noot-Huyghe - « Construction et étude de la transformée de Fourier pour les $𝒟$-modules arithmétiques », Thèse, université de Rennes I, 1995.

[30] N. Tsuzuki - « Morphisms of $F$-isocrystals and the finite monodromy theorem for unit-root $F$-isocrystals », Duke Math. J. 111 (2002), p. 385-418. | MR | Zbl

[31] A. Virrion - « Dualité locale et holonomie pour les $𝒟$-modules arithmétiques », Bull. Soc. Math. France 128 (2000), p. 1-68. | Numdam | MR | Zbl

[32] -, « Trace et dualité relative pour les $𝒟$-modules arithmétiques », in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, p. 1039-1112. | Zbl