Représentation par automate de fonctions continues de tore

Blanchard, F.; Host, B.; Maass, A.

Blanchard, F. ; Host, B. ; Maass, A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 1, pp. 205-214.

Résumé

Soient $A_{p} = {0, \dots, p - 1}$ et $Z \subseteq A_{p}^{ℕ} \times A_{p}^{ℕ}$ un sous-système. $Z$ est une représentation en base $p$ d’une fonction $f$ du tore si pour tout point $x$ du tore, ses développements en base $p$ sont liés par le couplage $Z$ aux développements en base $p$ de $f (x)$ . On prouve que si $f$ est représentable en base $p$ alors $f (x) = (u x + \frac{m}{p - 1}) mod 1$ , où $u \in ℤ et m \in A_{p}$ . Réciproquement, toutes les fonctions de ce type sont représentables en base $p$ par un transducteur. On montre finalement que les fonctions du tore qui peuvent être représentées par automate cellulaire sont exclusivement les multiplications par un diviseur d’une puissance de la base.

MR Zbl

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Bibliographie
Cité par

[B] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Masson. | Zbl

[BDT] F. Blanchard, J.M. Dumont, A. Thomas, Generic sequences, transducers and multiplication of normal numbers, Israel journal of Math 80, 257-287. | MR | Zbl

[BG] F. Botelho, M. Garzon, On dynamical properties of neural networks, Complex Systems 5 (1991), 401-413. | MR | Zbl

[JR] A. Johnson, D.J. Rudolph, Commuting endomorphisms of the circle, Ergodic Th. Dynam. Systems (1992). | MR | Zbl

[M] J.M. Muller, Some characterizations of functions computable in on-line arithmetic, Rapport LIP, 91-15.