A famous theorem of Belyi asserts that on any smooth projective geometrically connected algebraic curve defined over there exists a function unramified outside . We show that this function can be choosen without non trivial automorphism. As a consequence, for a finite extension of , any -isomorphism class of smooth projective geometrically connected algebraic curves can be characterized by a dessin d’enfant de Grothendieck, i.e. an isomorphism class of finite connected topological coverings of the sphere minus three points. We give a few examples of this situation.
Le théorème de Belyi affirme que sur toute courbe algébrique lisse projective et géométriquement connexe, définie sur , il existe une fonction non ramifiée en dehors de . Nous montrons que cette fonction peut être choisie sans automorphismes, c’est-à-dire telle que pour tout automorphisme non trivial de , on ait . Nous en déduisons que si est une extension finie de , toute -classe d’isomorphisme de courbes algébriques lisses projectives géométriquement connexes peut être caractérisée par un dessin d’enfant de Grothendieck, c’est à dire par une classe d’isomorphisme topologique de revêtements de la sphère privée de trois points. Nous en donnons quelques exemples.
Mots-clés : corps globaux, revêtements
@article{JTNB_1996__8_1_93_0, author = {Couveignes, Jean-Marc}, title = {\`A propos du th\'eor\`eme de {Belyi}}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {93--99}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {8}, number = {1}, year = {1996}, mrnumber = {1399948}, zbl = {0869.11092}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/item/JTNB_1996__8_1_93_0/} }
Couveignes, Jean-Marc. À propos du théorème de Belyi. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 8 (1996) no. 1, pp. 93-99. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1996__8_1_93_0/
esquisse d'un programme, non publié (1974).
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