Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

Kahane, Jean-Pierre

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 251-266.

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec $a=\frac{3}{2}$. L’article montre que la condition $ϵ\left(x\right)logx\in L^2({ℝ}^{+},dx/x)$ est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.

Given $P$, a discrete and multiplicatively free subset of the open half line $]1,\infty [$, let $N$ be the multiplicative semigroup generated by $1$ and $P$. The elements of $P$ resp. $N$ are called generalized primes resp. integers. The counting functions are denoted by $P\left(x\right)$ and $N\left(x\right)$. Beurling’s problem is to give conditions on $N\left(x\right)$ which imply the “prime number theorem” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. Assuming $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)(ϵ\to 0)$, Beurling’s condition is $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ with $a$ > $\frac{3}{2}$, and $a=\frac{3}{2}$ does not work. The article proves that the condition $ϵ\left(x\right)logx\in L^2({ℝ}^{+},dx/x)$ is sufficient, as conjectured by Bateman and Diamond.

[1] Bateman P.T. and Diamond H.G., Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers, Studies in number theory, M.A.A. Studies 6, (W. J. Leveque, ed.), 1969. | Zbl

[2] Beurling A., Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math. 68 (1937), 255-291. | JFM | Zbl

[3] Diamond H.G., The prime number theorem for Beurling's generalized numbers, J. Number Theory 1 (1969), 200-207. | MR | Zbl

[4] Kahane J.-P., Une formule de Fourier sur les nombres premiers, Gazette des Mathématiciens 67 (janvier 1996), 3-9. | MR | Zbl

[5] Kahane J.-P., Une formule de Fourier pour les nombres premiers, application aux nombres premiers généralisés de Beurling, Publ. Math. Orsay 96.1 (1996), "Harmonic analysis from the Pichorides viewpoint " (Myriam Déchamps, ed.). | MR | Zbl

[6] Kahane J.-P., A Fourier formula for prime numbers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings 21 (1997), 89-102. | MR | Zbl