Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 9 (1997) no. 2, pp. 251-266.

Given P, a discrete and multiplicatively free subset of the open half line ]1,[, let N be the multiplicative semigroup generated by 1 and P. The elements of P resp. N are called generalized primes resp. integers. The counting functions are denoted by P(x) and N(x). Beurling’s problem is to give conditions on N(x) which imply the “prime number theorem” P(x)x/logx(x). Assuming N(x)=Dx+xϵ(x)(ϵ0), Beurling’s condition is ϵ(x)=O((logx) -a ) with a > 3 2, and a=3 2 does not work. The article proves that the condition ϵ(x)logxL 2 ( + ,dx/x) is sufficient, as conjectured by Bateman and Diamond.

Soit P une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte ]1,[, et N le semi-groupe unitaire engendré par P. Les éléments de P s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de N entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées P(x) et N(x). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur N(x) qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” P(x)x/logx(x). En posant N(x)=Dx+xϵ(x), la condition de Beurling est ϵ(x)=O((logx) -a ) avec a>3 2, et il y a un contre-exemple avec a=3 2. L’article montre que la condition ϵ(x)logxL 2 ( + ,dx/x) est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.

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[1] Bateman P.T. and Diamond H.G., Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers, Studies in number theory, M.A.A. Studies 6, (W. J. Leveque, ed.), 1969. | Zbl

[2] Beurling A., Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math. 68 (1937), 255-291. | JFM | Zbl

[3] Diamond H.G., The prime number theorem for Beurling's generalized numbers, J. Number Theory 1 (1969), 200-207. | MR | Zbl

[4] Kahane J.-P., Une formule de Fourier sur les nombres premiers, Gazette des Mathématiciens 67 (janvier 1996), 3-9. | MR | Zbl

[5] Kahane J.-P., Une formule de Fourier pour les nombres premiers, application aux nombres premiers généralisés de Beurling, Publ. Math. Orsay 96.1 (1996), "Harmonic analysis from the Pichorides viewpoint " (Myriam Déchamps, ed.). | MR | Zbl

[6] Kahane J.-P., A Fourier formula for prime numbers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings 21 (1997), 89-102. | MR | Zbl