Une caractérisation simple des nombres de Sturm
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 237-241.

Un mot sturmien est la discrétisation d’une droite de pente irrationnelle. Un nombre de Sturm est la pente d’un mot sturmien qui est invariant par une substitution non triviale. Ces nombres sont certains irrationnels quadratiques caractérisés par la forme de leur développement en fraction continue. Nous donnons une caractérisation très simple des nombres de Sturm : un nombre irrationnel positif est de Sturm (de première espèce) si et seulement s’il est quadratique et à conjugué négatif.

A sturmian word is the discretization of a straight line with an irrational slope. A sturmian number is the slope of a substitution invariant sturmian word. These numbers are some quadratic irrationals characterized by the form of their continued fraction expansion. We give a very simple characterization of sturmian numbers : a positive irrational number is Sturmian (of the first kind) if and only if it is quadratic with a negative conjugate.

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[1] J. Berstel, Recent results in sturmian words. Developments in Language Theory II, pp. 13-24, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1996. | MR | Zbl

[2] V. Berthé, Fréquences des facteurs des suites sturmiennes. Theoret. Comput. Sci. 165 (1996), 295-309. | MR | Zbl

[3] D. Crisp, W. Moran, A. Pollington, P. Shuie, Substitution invariant cutting sequences. J. Théor. Nombres Bordeaux 5 (1993), 123-137. | Numdam | MR | Zbl

[4] B. Parvaix, Propriétés d'invariance des mots sturmiens. J. Théor. Nombres Bordeaux 9 (1997), 351-369. | Numdam | MR | Zbl

[5] D. Redmond, Number Theory: An Introduction, chapter 4. pp. 210-235. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 201. Marcel Dekker, Inc., New York, 1996. | MR | Zbl