Théorèmes de réflexion

Gras, Georges

Gras, Georges

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499.

Résumé
Abstract

Soit $K$ un corps de nombres contenant $μ_{p}$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation $𝔽_{p}$ -irréductible $V_{χ}$ de $G$ , de caractère $χ$ , et tout $G$ -module $M$ , soit rg $_{χ} (M)$ l’entier $r$ maximum tel que $M / M^{p}$ contienne $V_{χ}^{r}$ . Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante :

r g_{χ^{*}} (C ℓ_{T}^{S}) - r g_{χ} (C ℓ_{S}^{T}) = ρ_{χ} (T, S),

où

T

S

sont des ensembles finis disjoints de places de

K

tels que

T \cup S

contienne les places au-dessus de

p \infty

, où

C ℓ_{T}^{S}

est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la

p

-extension abélienne maximale

T

-ramifiée,

S

-décomposée de

K

, et où

ρ_{χ} (T, S)

est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de

p \infty

, conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas

p = 2

), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à

K

Let $K$ be a number field containing $μ_{p}$ and supplied with a group of automorphisms $G$ of prime to $p$ order ; for all $𝔽_{p}$ -irreducible representation $V_{χ}$ of $G$ , with character $χ$ , and all G-module $M$ , let rg $_{χ} (M)$ be the maximal integer $r$ such that $M / M^{p}$ contains $V_{χ}^{r}$ . We obtain for instance the following explicit general formula :

r g_{χ^{*}} (C ℓ_{T}^{S}) - r g_{χ} (C ℓ_{S}^{T}) = ρ_{χ} (T, S),

where

T

and

S

are finite disjoint sets of places of

K

such that

T \cup S

contains all places above

p \infty

, where

C ℓ_{T}^{S}

is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian

p

-extension,

T

-ramified and

S

-splitted of

K

, and

ρ_{χ} (T, S)

is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above

p_{\infty}

, give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case

p = 2

), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to

K

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Mots-clés : «Spiegelungssatz» avec conducteurs, théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda, corps de classes, groupes de classes généralisées, unités, représentations et caractères, $\chi $-rangs, $p$-rangs, extensions de Kummer, décomposition des idéaux premiers, $p$-ramification abélienne, conjecture de Leopoldt-Jaulent, $K$-théorie des anneaux d’entiers

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Gras, Georges. Théorèmes de réflexion. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1998__10_2_399_0/

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