Théorèmes de réflexion

Gras, Georges

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499.

Soit $K$ un corps de nombres contenant ${\mu }_p$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation ${𝔽}_p$-irréductible $V_{\chi }$ de $G$, de caractère $\chi$, et tout $G$-module $M$, soit rg${}_{\chi }\left(M\right)$ l’entier $r$ maximum tel que $M/M^p$ contienne $V_{\chi }^r$. Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante :

$$r{g}_{{\chi }^{*}}\left(C{\ell }_T^S\right)-r{g}_{\chi }\left(C{\ell }_S^T\right)={\rho }_{\chi }(T,S),$$

où $T$ et $S$ sont des ensembles finis disjoints de places de $K$ tels que $T\cup S$ contienne les places au-dessus de $p\infty$, où $C{\ell }_T^S$ est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la $p$-extension abélienne maximale $T$-ramifiée, $S$-décomposée de $K$, et où ${\rho }_{\chi }(T,S)$ est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de $p\infty$, conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas $p=2$), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à $K$.

Let $K$ be a number field containing ${\mu }_p$ and supplied with a group of automorphisms $G$ of prime to $p$ order ; for all ${𝔽}_p$-irreducible representation $V_{\chi }$ of $G$, with character $\chi$, and all G-module $M$, let rg${}_{\chi }\left(M\right)$ be the maximal integer $r$ such that $M/M^p$ contains $V_{\chi }^r$. We obtain for instance the following explicit general formula :

$$r{g}_{{\chi }^{*}}\left(C{\ell }_T^S\right)-r{g}_{\chi }\left(C{\ell }_S^T\right)={\rho }_{\chi }(T,S),$$

where $T$ and $S$ are finite disjoint sets of places of $K$ such that $T\cup S$ contains all places above $p\infty$, where $C{\ell }_T^S$ is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian $p$-extension, $T$-ramified and $S$-splitted of $K$, and ${\rho }_{\chi }(T,S)$ is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above $p_{\infty }$, give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case $p=2$), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to $K$.

Mots clés : «Spiegelungssatz» avec conducteurs, théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda, corps de classes, groupes de classes généralisées, unités, représentations et caractères, $\chi $-rangs, $p$-rangs, extensions de Kummer, décomposition des idéaux premiers, $p$-ramification abélienne, conjecture de Leopoldt-Jaulent, $K$-théorie des anneaux d’entiers

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