Dans cet article, nous nous intéressons à l’indice dans l’anneau des entiers d’une extension abélienne d’un corps de nombres du sous-groupe engendré par les entiers contenus dans des sous-corps cycliques sur . Cet indice est fini et ne dépend que du groupe de Galois et du degré de . Nous en donnons une expression combinatoire. Lorsqu’on considère plus généralement des anneaux de Dedekind, des termes correctifs apparaissent, s’il y a une extension inséparable du corps résiduel. Nous explicitons ces termes dans le cas d’une extension abélienne de type .
In this note we consider the index in the ring of integers of an abelian extension of a number field of the additive subgroup generated by integers which lie in subfields that are cyclic over . This index is finite, it only depends on the Galois group and the degree of , and we give an explicit combinatorial formula for it. When generalizing to more general Dedekind domains, a correction term can be needed if there is an inseparable extension of residue fields. We identify this correction term for abelian extensions of type .
@article{JTNB_2000__12_1_209_0, author = {de Smit, Bart}, title = {The cyclic subfield integer index}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {209--218}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {12}, number = {1}, year = {2000}, mrnumber = {1827848}, zbl = {1008.11040}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_209_0/} }
de Smit, Bart. The cyclic subfield integer index. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 209-218. http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_209_0/
[1] Factorisability, group lattices, and Galois module structure. J. Algebra 134 (1990), 257-270. | MR | Zbl
,[2] On the factorization of cyclic groups. Indag. Math. (N.S.) 15 (1953), 370-377. | MR | Zbl
,[3] The different and differentials for local fields with imperfect residue fields. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 40 (1997), 353-365. | MR | Zbl
,[4] Factor equivalence results for integers and units. Enseign. Math. (2) 42 (1996), 383-394. | MR | Zbl
,[5] Primitive elements in integral bases. Acta Arith. 71 (1995), 159-170. | MR | Zbl
,[6] private communication, May 1991.
,[7] L-values at zero and multiplicative Galois module structure (also Galois Gauss sums and additive Galois module structure). J. Reine Angew. Math. 397 (1989), 42-99. | MR | Zbl
,[8] Remarques sur les unités cyclotomiques et les unités elliptiques. J. Number Theory 11 (1979), 21-48. | MR | Zbl
,[9] Étude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens. Astérisque 41-42 (1977), 35-53. | Numdam | MR | Zbl
,[10] Jr., Grothendieck groups of abelian group rings. J. Pure Appl. Algebra 20 (1981), 173-193. | MR | Zbl
,[11] Bicyclic bicubic fields. Canad. J. Math. 42 (1990) no. 3, 491-507. | MR | Zbl
,[12] Über das Kreisteilungspolynom. Acta Math. Hungar. 5 (1954), 27-28. | MR | Zbl
,[13] Local fields. Springer-Verlag, New York, 1979. | MR | Zbl
,[14] Introduction to cyclotomic fields. Springer-Verlag, New York, 1982. | MR | Zbl
,