If is a finite Galois extension of number fields with Galois group , then the kernel of the capitulation map of ideal class groups is isomorphic to the kernel of the transfer map where and is the Hilbert class field of . H. Suzuki proved that when is abelian, divides . We call a finite abelian group a transfer kernel for if for some group extension . After characterizing transfer kernels in terms of integral representations of , we show that is a transfer kernel for the abelian group if and only if and divides . Our arguments give a new proof of Suzuki’s result.
On sait que pour une extension galoisienne finie d'un corps de nombres, le noyau du morphisme d'extension s'identifie au noyau du transfert où , où Gal, et est le corps de classes de Hilbert de . Lorsque le groupe Gal est abélien, H. Suzuki a montré que divise . Nous appelons noyau de transfert pour tout groupe abélien fini qui s'écrit pour un certain groupe tel que . Après avoir caractérisé les noyaux de transfert en termes de représentations entières de , nous montrons que est un noyau de transfert pour le groupe abélien si et seulement si on a et divise , ce qui fournit une nouvelle démonstration du résultat de Suzuki.
@article{JTNB_2000__12_1_219_0, author = {Gruenberg, K. W. and Weiss, A.}, title = {Capitulation and transfer kernels}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {219--226}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {12}, number = {1}, year = {2000}, mrnumber = {1827849}, zbl = {1009.11061}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_219_0/} }
TY - JOUR AU - Gruenberg, K. W. AU - Weiss, A. TI - Capitulation and transfer kernels JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2000 SP - 219 EP - 226 VL - 12 IS - 1 PB - Université Bordeaux I UR - http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_219_0/ LA - en ID - JTNB_2000__12_1_219_0 ER -
Gruenberg, K. W.; Weiss, A. Capitulation and transfer kernels. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 1, pp. 219-226. http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_219_0/
[G] Relation Modules of Finite Groups. CBMS Monograph 25, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1976. | MR | Zbl
,[GW] Galois invariants for units. Proc. London Math. Soc. 70 (1995), 264-284. | MR | Zbl
, ,[J] L'état actuel du problème de la capitulation. Sem. de Théorie des Nombres de Bordeaux, 1987-1988, exposé no. 17. | Zbl
,[L] Algebraic Number Theory. Springer, New York, 1994. | MR | Zbl
,[M] Algebraic investigations of Hilbert's Theorem 94, the principal ideal theorem and the capitulation problem. Expo. Math. 7 (1989), 289-346. | MR | Zbl
,[S] A generalization of Hilbert's Theorem 94. Nagoya Math. J. 121 (1991), 161-169. | MR | Zbl
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