In this paper, we show by an explicit method that every non degenerate symmetric -bilinear form of even rank, which is not -isomorphic to the hyperbolic plane, can be realized as a hermitian scaled trace form of some algebra , where is an algebraic integer. More precisely, we show that for every symmetric matrix , with det (and det (mod ) if ), there exist an algebraic integer , a -linear involution of a -symmetric element and a -basis of some ideal of such that .
Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme -bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non -isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre , où est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout symétrique, avec det (et det (mod ) si ), il existe un entier algébrique , une involution -linéaire de -symétrique et une -base d’un idéal de tels que .
@article{JTNB_2000__12_1_25_0, author = {Berhuy, Gr\'egory}, title = {R\'ealisation de formes $\mathbb {Z}$-bilin\'eaires sym\'etriques comme formes trace hermitiennes amplifi\'ees}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {25--36}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {12}, number = {1}, year = {2000}, mrnumber = {1827836}, zbl = {1014.11030}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_25_0/} }
TY - JOUR AU - Berhuy, Grégory TI - Réalisation de formes $\mathbb {Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2000 SP - 25 EP - 36 VL - 12 IS - 1 PB - Université Bordeaux I UR - http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_25_0/ LA - fr ID - JTNB_2000__12_1_25_0 ER -
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Berhuy, Grégory. Réalisation de formes $\mathbb {Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 1, pp. 25-36. http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_25_0/
[1] Jacques Martinet, Formes quadratiques liées aux algèbres semi-simples. J. reine angew. Math. 451 (1994), 51-69. | MR | Zbl
,[2] Algebraic construction of bilinear forms over Z. Pub. Math. de Besançon, Théorie des nombres (96/97-97/98).
,[3] On a theorem of Latimer and MacDuffee. Canad. J. Math. 1 (1949), 300-302. | MR | Zbl
,[4] On matrix classes corresponding to an ideal and its inverse. Illinois Math. J. 1 (1957), 108-113. | MR | Zbl
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