Soit la mesure de Mahler d'un nombre algébrique , et un ouvert de . Alors sa \emph{constante de Lehmer} est égale à inf , l'infimum étant évalué sur tous les nombres algébriques non cyclotomiques dont tous les conjugués sont à l'extérieur de . Nous calculons lorsque est une couronne centrée en . Nous faisons de même pour la constante de Lehmer transfinie .\\ Nous démontrons également la réciproque d'un théorème de Langevin, qui affirme que si contient un élément de module , ainsi que le résultat analogue avec .
Let be the Mahler measure of an algebraic number , and be an open subset of . Then its \emph{Lehmer constant} is inf , the infimum being over all non-zero non-cyclotomic lying with its conjugates outside . We evaluate when is any annulus centered at . We do the same for a variant of , which we call the transfinite Lehmer constant .\\ Also, we prove the converse to Langevin's Theorem, which states that if contains a point of modulus . We prove the corresponding result for .
@article{JTNB_2001__13_2_413_0, author = {Dubickas, Art\=uras and Smyth, Chris J.}, title = {The Lehmer constants of an annulus}, journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux}, pages = {413--420}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {13}, number = {2}, year = {2001}, zbl = {1030.11057}, mrnumber = {1879666}, language = {en}, url = {archive.numdam.org/item/JTNB_2001__13_2_413_0/} }
Dubickas, Artūras; Smyth, Chris J. The Lehmer constants of an annulus. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 413-420. http://archive.numdam.org/item/JTNB_2001__13_2_413_0/
[BS] Cyclotomic points on curves. Number Theory for the Millennium: Proc. Millennial Conf. Number Theory (B. C. Berndt et al., eds.), Urbana, Illinois, May 21 - 26, 2000, A K Peters, Ltd., Natick, MA (to appear 2002). | MR 1956219 | Zbl 1029.11009
, ,[D] On the distribution of roots of polynomials in sectors. I. Liet. Matem. Rink. 38 (1998), 34-58. | MR 1663816 | Zbl 0920.12001
,[DS] On the Remak height, the Mahler measure, and conjugate sets of algebraic numbers lying on two circles. Proc. Edinburgh Math. Soc. 44 (2001), 1-17. | MR 1878724 | Zbl 0997.11087
, ,[La] Méthode de Fekete - Szegö et problème de Lehmer. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 301 (1985), 463-466. | MR 812558 | Zbl 0585.12013
,[La2] Minorations de la maison et de la mesure de Mahler de certains entiers algébriques. C. R. Acad. Sci. Paris Sèr. I Math. 303 (1986), 523-526. | MR 867930 | Zbl 0604.12001
,[La3] Calculs explicites de constantes de Lehmer. Groupe de travail en théorie analytique et élémentaire des nombres, 1986-1987, 52-68, Publ. Math. Orsay, 88-01, Univ. Paris XI, Orsay, 1988. | MR 950948 | Zbl 0678.12002
,[Le1] Factorisation of certain cyclotomic functions. Ann. of Math. (2) 34 (1933), 461-479. | JFM 59.0933.03 | MR 1503118 | Zbl 0007.19904
,[Le2] Review of [La3]. Math. Rev. 89j:11025.
,[M] Sur un théorème de M. Langevin. Acta Arith. 54 (1989), 81-86. | MR 1024420 | Zbl 0641.12003
,[RS] On the absolute Mahler measure of polynomials having all zeros in a sector. Math. Comp. 65 (1995), 295-304. | MR 1257579 | Zbl 0820.11064
, ,[Sc] On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic number. Acta Arith. 24 (1973), 385-399; Addendum 26 (1975), 329-331. | MR 360515
,[Sm] On the measure of totally real algebraic integers. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 30 (1980), 137-149. | MR 607924 | Zbl 0457.12001
,